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--- 물리:자발_대칭_깨짐_spontaneous_symmetry_breaking [2022/01/16 00:14] – minwoo
+++ 물리:자발_대칭_깨짐_spontaneous_symmetry_breaking [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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-자발 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)이 일어나는 대표적인 예로, 2차원 이징 모형을 들 수 있다.
+자발적 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)이 일어나는 대표적인 경우로, 2차원 이징 모형을 예로 들 수 있다.
-이징 모형의 경우, 해밀토니안은
+이징 모형의 경우, 외부 자기장이 0인 상황에서 해밀토니안은
 $$E = -J \sum_{\left< xy \right>} \sigma_x \sigma_y$$
 로 주어진다.
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 위의 식에서, 모든 각각의 스핀 $\sigma_x, \sigma_y$ 의 부호를 반대로 뒤집어도 에너지는 똑같다.
 즉, 스핀들이 선호하는 방향이 존재하지 않는 대칭적(symmetry)인 상황이지만,
 이징모형에서는 마구잡이로 배열되어 있는 무질서한 상태(disorder)로 부터,
 한 방향의 스핀으로 배열(order)되려는 상태로 상전이가 일어난다.
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 이러한 현상을 '자발 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)' 이라고 한다.
-아래의 그림은 각각 '초기의 스핀 배열 상태' , '100 MC steps 지난 상태' , '1000 MC steps 지난 상태' , '5000 MC steps 지난 상태' 의
+아래의 그림은 각각 '초기의 스핀 배열 상태' , '100 MC steps 지난 상태' , '1100 MC steps 지난 상태' , '5000 MC steps 지난 상태' 의
 차원 이징모형 시뮬레이션 결과이다.
-$\beta=0.5$ 로 설정하였고, 편의상 $J$=1 로 두었다. (양(+)의 부호 스핀은 노란색, 음(-)의 부호 스핀은 남색)
+$\beta=0.5$ 로 설정하였고, 편의상 $J$=1 로 두었다. 전체 스핀의 개수는 900개 이다.
+(양(+)의 부호 스핀은 노란색, 음(-)의 부호 스핀은 남색)
+이때 1 MC step이라 함은 한번의 monte carlo step을 의미하며, 설정 상 전체 스핀의 개수가 30x30 임을 고려하였다.
 {{::물리::initial_state.png?300|}}   {{::물리::100_mc_steps.png?300|}}   {{::물리::1000_mc_steps.png?300|}}   {{::물리::5000_mc_steps.png?300|}}
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 이 경우는 양의 부호가 지배적이다.
+시뮬레이션은 아래의 C++ 코드로 수행하였고, cout을 이용하여 spin을 담아둔 matrix를 원하는 MC step에 출력하여 그렸다.
+<code C++>
+#include <iostream>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <random>
+#include <vector>
+using namespace std;
+int main() {
+	const int lsize=30;
+	const float beta = 0.5;
+	const float J = 1;
+	const int iter=lsize*lsize*5000;
+	int i; int j;
+	float del_E; float mp_probability; // mp means metropolis
+	float spin[lsize][lsize] = { 0 };
+	random_device rd;
+	mt19937 gen(rd());
+	bernoulli_distribution distrib(0.5);
+	uniform_int_distribution<> distri(0, lsize - 1);
+	uniform_real_distribution<> dist(0, 1);
+	for (int t=0; t<iter;t++){
+		if (t==0){
+			for (int a=0;a<lsize;a++){
+				for (int b=0;b<lsize;b++){
+					if (distrib(gen)){
+						spin[a][b]=1;
+					}
+					else {
+						spin[a][b]=-1;
+					}
+				}
+			}
+		}
+		else {
+			i = distri(gen);
+			j = distri(gen);
+			if (i<lsize-1 && j<lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1])); // periodic boundary condition
+			}
+			else if (i==lsize-1 && j<lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1]));
+			}
+			else if (i<lsize-1 && j==lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));
+			}
+			else if (i==lsize-1 && j==lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));
+			}
+			if (exp(-beta*del_E) < 1){
+				mp_probability = exp(-beta*del_E);
+			}
+			else if (exp(-beta*del_E) >= 1) {
+				mp_probability = 1;
+			}
+			if (dist(gen) < mp_probability){
+				spin[i][j] = spin[i][j]*(-1);
+			}
+		}
+}
+	return 0;
+}
+</code>
+차원 이징 모형에 대한 더 자세한 개념 및 보다 효율적인 알고리즘에 대해서 알기 위해 아래의 게시글을 확인할 수 있다.
+====== 함께 보기 ======
+[[물리:2차원_이징_모형|2차원 이징 모형]]
+[[전산물리학:울프_군집_셈법_wolff_cluster_algorithm|울프 군집 셈법(Wolff cluster algorithm)]]