물리:조화_고체

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물리:조화_고체 [2016/05/18 18:03] – 새로 만듦 admin물리:조화_고체 [2018/06/05 17:09] – [참고문헌] admin
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 ======개요====== ======개요======
-고체 내 격자의 움직임을 이해하기 위해 원자들을 용수철로 연결된 질점으로 간주해서 풀고자 한다.+고체 내 격자의 움직임을 이해하기 위해 원자들을 용수철로 연결된 질량 $m$인 질점으로 간주해서 풀고자 한다. 모든 용수철 상수는 균일하게 $K$로 놓는다.
  
-격자 상수, 즉 평형 상태에서 원자들 사이의 간격을 $a$라고 보고 $j$번째 원자의 원래 위치를 $R_j = ja$라고 놓자. 원자의 전체 수는 $N$개여서 $j=1,\ldots,N$가 된다. 평형 위치로부터의 변위가 $x_j$여서 원자의 실제 위치가 $r_j = R_j + x_j$라고 하자. 시간 $t$에 대해 변하는 부분은 $x_j$뿐임에 유의한다. 즉 시간 미분을 점으로 나타내면, $\dot{x}_j = \dot{r}_j$이다.+======변위와 속도====== 
 +격자 상수, 즉 평형 상태에서 원자들 사이의 간격을 $a$라고 보고 $j$번째 원자의 원래 위치를 $R_j = ja$라고 놓자. 원자의 전체 수는 $N$개여서 $j=1,\ldots,N$이고 전체 길이는 $L=Na$이다. 평형 위치로부터의 변위가 $x_j$여서 원자의 실제 위치가 $r_j = R_j + x_j$라고 하자. 시간 $t$에 대해 변하는 부분은 $x_j$뿐임에 유의한다. 즉 시간 미분을 점으로 나타내면, $\dot{x}_j = \dot{r}_j$이다.
  
 +[[:수학:푸리에 변환]]을 사용하면 아래처럼 표현할 수 있다:
 +$$\begin{array}{ll}
 +\hat{x}_k = N^{-1/2} \sum_j x_j e^{-ikR_j}, & \dot{\hat{x}}_k = N^{-1/2} \sum_j \dot{x}_j e^{-ikR_j}\\
 +x_j = N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikR_j}, & \dot{x}_j = N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j}.
 +\end{array}$$
 +이 때  $k = 2\pi/\lambda$이고, 이에 해당하는 파장은 어떤 자연수 $n$에 대해 $\lambda = L/n$이다. 위 식들에서 $k$에 대한 합 $\sum_k$는 $n$에 대한 합이라고 이해해도 된다.
 +
 +이후의 계산에서 다음의 두 가지 성질에 유의할 것.
 +  *$x_j$가 실수이므로 푸리에 계수에 복소켤레를 취했을 때 $\hat{x}_k^\ast = \hat{x}_{-k}$이다.
 +  *$\sum_j \exp[i(k'-k)R_j] = N \delta_{kk'}$, 이 때 $\delta_{kk'}$은 [[:수학:크로네커 델타]]이다.
 +더 자세한 설명은 [[:수학:푸리에 변환]]을 참조할 것.
 +
 +======에너지======
 +=====운동 에너지=====
 +
 +\begin{eqnarray}
 +\frac{1}{2} m \sum_j \dot{x}_j^2 &=& \frac{1}{2}m \sum_j \dot{x}_j \dot{x}_j\\
 +&=& \frac{1}{2} m \sum_j \left( N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j} \right)\left( N^{-1/2} \sum_{k'} \dot{\hat{x}}_{k'} e^{ik'R_j} \right)\\
 +&=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk'} \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{k'} \sum_j \exp[i(k+k')R_j]\\
 +&=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk'} \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{k'} N \delta_{k+k',0}\\
 +&=& \frac{1}{2} m \sum_k \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{-k}\\
 +&=& \frac{1}{2} m \sum_k \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2.
 +\end{eqnarray}
 +
 +식 (2)를 적을 때에 허깨비 변수끼리 같을 이유가 없으므로 $k$, $k'$으로 달리 적었음에 유의한다.
 +
 +식 (3)으로부터 (4)로 넘어올 때에 위에서 언급한 [[:수학:크로네커 델타]]의 푸리에 표현식이 쓰였다.
 +
 +
 +=====위치 에너지=====
 +
 +\begin{eqnarray}
 +\frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right)^2 &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right) \left( x_j - x_{j+1} \right)\\
 + &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k \left( e^{ikR_j} - e^{ikR_{j+1}} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} \left( e^{ik'R_j} - e^{ik'R_{j+1}} \right) \right]\\
 + &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikja} \left( 1 - e^{ika} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} e^{ik' ja} \left( 1 - e^{ik' a} \right) \right]\\
 +&=& \frac{1}{2}K N^{-1} \sum_{kk'} \hat{x}_k \hat{x}_{k'} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{ik' a} \right) \sum_j \exp[i(k+k')ja]\\
 +&=& \frac{1}{2}K \sum_k \hat{x}_k \hat{x}_{-k} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right)\\
 +&=& \frac{1}{2} \sum_k \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2.
 +\end{eqnarray}
 +이 때에 $\hat{K}(k) = K\left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right) = 4K \sin^2 \frac{ka}{2}$로서, [[:물리:소리 양자]](phonon)의 [[:물리:분산 관계]] 중 음향 갈래(acoustic branch)에 해당하는 부분이다.
 +
 +=====전체 에너지=====
 +따라서 전체 에너지는
 +$$E = \sum_k \left[ \frac{1}{2} m \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2 + \frac{1}{2} \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2 \right]$$
 +로서 독립적인 [[:물리:조화진동자]]들의 합으로 분리된다.
 +
 +======같이 보기======
 +[[:물리:현의 진동]]
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
-  *Robert H. Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012).+  *Robert H. Swendsen, //An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics// (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012), pp. 291--307.
  
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