Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 물리:주기적_경계_조건_pbc_을_갖는_비대칭_단순_배타_과정_asep [2023/01/02 18:49] – minwoo
+++ 물리:주기적_경계_조건_pbc_을_갖는_비대칭_단순_배타_과정_asep [2023/09/07 06:58] (current) – minwoo
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== ASEP 모형 ======
 비대칭 단순 배타 과정 (asymmetric simple exclusion process, ASEP)은 다음과 같은 그림으로 설명 가능하다.
@@ Line 285: / Line 286: @@
 ==== $L=4, N=2$ (행렬 성분으로 비교) ====
-칸 중에서 입자가 존재하는 칸을 O, 존재하지 않는 칸을 X 로 표기하면, 가령 OOXX는 $i=1,2$에 입자가 있고 $i=3,4$에 입자가 없는 배열을 의미하는 것으로 표기하겠다.
+칸 중에서 입자가 존재하는 칸을 O, 존재하지 않는 칸을 X 로 표기하면, 가령 OOXX는 $i=1,2$에 입자가 있고 $i=3,4$에 입자가 없는 ($N=2$) 배열을 의미하는 것으로 표기하겠다.
 이번 예에서 가능한 배열은 OOXX, OXOX, OXXO, XOOX, XOXO, XXOO로 총 ${4 \choose 2} = 6$가지 이다.
@@ Line 366: / Line 367: @@
 따라서 $\text{OXOX}$의 배열에서 $\text{XOOX}$가 되었다면 그는 $i=1$에는 '올림 연산자'를, $i+1=2$에는 '내림 연산자'를 적용하여 얻은 것이다.
-그러므로 $H_1$의 $4$행 $2$열의 성분은 $-p$이다.
+그러므로, $H_1$의 $2$행 $2$열의 성분은 $\frac{1}{2}$이며 $4$행 $2$열의 성분은 $-p$이다.
 $$ \\ $$
@@ Line 408: / Line 409: @@
 $$
-H_1 \begin{pmatrix}
+H_2 \begin{pmatrix}
 P(\text{OOXX}) \\
 P(\text{OXOX}) \\
@@ Line 416: / Line 417: @@
 P(\text{XXOO})
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+{\frac{1}{2}} & {-q} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
+{-p} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
+{0} & {0} & {\frac{1}{2} } & {0} & {0} & {0} \\
 {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
-{0} & {\frac{1}{2}} & {0} & {-q} & {0} & {0} \\
+{0} & {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} & {-q} \\
-{0} & {0} & {\frac{1}{2} } & {0} & {-q} & {0} \\
+{0} & {0} & {0} & {0} & {-p} & {\frac{1}{2}}
-{0} & {-p} & {0} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} \\
+\end{pmatrix}
-{0} & {0} & {-p} & {0} & {\frac{1}{2}} & {0} \\
+\begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}
+$$
+$ \\ $
+----
+== (3) $H_3$ ==
+$$H_3= \Biggl\{ -p\sigma_3^+ \sigma_{4}^- -q\sigma_3^-\sigma_{4}^+
++ \frac{(p+q)}{4}(1-\sigma_3^z\sigma_{4}^z) \Biggl\} $$
+마찬가지로, 이번에는 $3$번째와 $4$번째 위치에만 관련된 $H_3$를 다음과 같이 구할 수 있으며
+$$
+H_3 \begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+{0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
+{0} & {\frac{1}{2}} & {-q} & {0} & {0} & {0} \\
+{0} & {-p} & {\frac{1}{2} } & {0} & {0} & {0} \\
+{0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} & {-q} & {0} \\
+{0} & {0} & {0} & {-p} & {\frac{1}{2}} & {0} \\
 {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0}
 \end{pmatrix}
@@ Line 432: / Line 469: @@
 \end{pmatrix}
 $$
+$ \\ $
+----
+== (4) $H_4$ ==
+$$H_4= \Biggl\{ -p\sigma_4^+ \sigma_{1}^- -q\sigma_4^-\sigma_{1}^+
++ \frac{(p+q)}{4}(1-\sigma_4^z\sigma_{1}^z) \Biggl\} $$
+마지막으로, $4$번째와 $1$번째 위치에만 관련된 $H_4$를 다음과 같이 구할 수 있다.
+$$
+H_4 \begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+{\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {0} & {-p} & {0} \\
+{0} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {0} & {-p} \\
+{0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
+{0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\
+{-q} & {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} & {0} \\
+{0} & {-q} & {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}
+$$
+$ \\ $
+----
+결과로 얻은 행렬 $H_1,H_2,H_3,$ 그리고 $H_4$를 (프로그래밍 언어 등을 이용해서) 전부 합하여 $H$를 다음과 같이 얻을 수 있는데
+$$
+\begin{pmatrix}
+{1} & {-q} & {0} & {0} & {-p} & {0} \\
+{-p} & {2} & {-q} & {-q} & {0} & {-p} \\
+{0} & {-p} & {1} & {0} & {-q} & {0} \\
+{0} & {-p} & {0} & {1} & {-q} & {0} \\
+{-q} & {0} & {-p} & {-p} & {2} & {-q} \\
+{0} & {-q} & {0} & {0} & {-p} & {1}
+\end{pmatrix}
+$$
+이는, 앞서 으뜸 방정식의 다음과 같은 형태에서 볼 수 있는 행렬의 모든 성분에 $(-1)$을 곱해준 것과 같으므로
+$$
+\frac{d}{dt} \begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}
+=
+\begin{pmatrix}
+-1 & q & 0 & 0 & p & 0 \\
+p & -2 & q & q & 0 & p \\
+& p & -1 & 0 & q & 0 \\
+& p & 0 & -1 & q & 0 \\
+q & 0 & p & p & -2 & q \\
+& q & 0 & 0 & p & -1
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+P(\text{OOXX}) \\
+P(\text{OXOX}) \\
+P(\text{OXXO}) \\
+P(\text{XOOX}) \\
+P(\text{XOXO}) \\
+P(\text{XXOO})
+\end{pmatrix}
+$$
+$L=4,N=2$의 예를 통해 다음의 해밀토니안이 으뜸 방정식과 잘 대응됨을 알 수 있다.
+$$ H=\sum_i\Biggl\{ -p\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^--q\sigma_i^-\sigma_{i+1}^+
++ \frac{(p+q)}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \Biggl\} $$
+$$ \\ $$
+$H$의 식에서 음($-$)의 부호에 해당하는 항은 으뜸 방정식에서는 양($+$)의 부호 이므로 $P(\boldsymbol{\tau})$에 대해 '양의 기여'를 하지만
+$H$의 식에서 양($+$)의 부호에 해당하는 항은 으뜸 방정식에서는 음($-$)의 부호 이므로 $P(\boldsymbol{\tau})$에 대해 '음의 기여'를 한다.
+이를 통해, $H$의 행렬 표현에서의 대각 성분이 양의 기여분(in-flux)을 상쇄하는 음의 기여분(out-flux)을 준다는 것을 확인할 수 있다.
+$$ \\ $$
 ====== 참고 문헌 ======
 Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.