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물리:주기적_경계_조건_pbc_을_갖는_비대칭_단순_배타_과정_asep [2023/01/02 19:06] – minwoo | 물리:주기적_경계_조건_pbc_을_갖는_비대칭_단순_배타_과정_asep [2023/09/07 06:58] (current) – minwoo | ||
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====== ASEP 모형 ====== | ====== ASEP 모형 ====== | ||
+ | |||
비대칭 단순 배타 과정 (asymmetric simple exclusion process, ASEP)은 다음과 같은 그림으로 설명 가능하다. | 비대칭 단순 배타 과정 (asymmetric simple exclusion process, ASEP)은 다음과 같은 그림으로 설명 가능하다. | ||
Line 285: | Line 286: | ||
==== $L=4, N=2$ (행렬 성분으로 비교) ==== | ==== $L=4, N=2$ (행렬 성분으로 비교) ==== | ||
- | 4칸 중에서 입자가 존재하는 칸을 O, 존재하지 않는 칸을 X 로 표기하면, | + | 4칸 중에서 입자가 존재하는 칸을 O, 존재하지 않는 칸을 X 로 표기하면, |
이번 예에서 가능한 배열은 OOXX, OXOX, OXXO, XOOX, XOXO, XXOO로 총 ${4 \choose 2} = 6$가지 이다. | 이번 예에서 가능한 배열은 OOXX, OXOX, OXXO, XOOX, XOXO, XXOO로 총 ${4 \choose 2} = 6$가지 이다. | ||
Line 366: | Line 367: | ||
따라서 $\text{OXOX}$의 배열에서 $\text{XOOX}$가 되었다면 그는 $i=1$에는 ' | 따라서 $\text{OXOX}$의 배열에서 $\text{XOOX}$가 되었다면 그는 $i=1$에는 ' | ||
- | 그러므로 $H_1$의 $4$행 $2$열의 성분은 $-p$이다. | + | 그러므로, $H_1$의 |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Line 408: | Line 409: | ||
$$ | $$ | ||
- | H_1 \begin{pmatrix} | + | H_2 \begin{pmatrix} |
P(\text{OOXX}) \\ | P(\text{OOXX}) \\ | ||
P(\text{OXOX}) \\ | P(\text{OXOX}) \\ | ||
Line 480: | Line 481: | ||
$$ | $$ | ||
- | H_3 \begin{pmatrix} | + | H_4 \begin{pmatrix} |
P(\text{OOXX}) \\ | P(\text{OOXX}) \\ | ||
P(\text{OXOX}) \\ | P(\text{OXOX}) \\ | ||
Line 488: | Line 489: | ||
P(\text{XXOO}) | P(\text{XXOO}) | ||
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | ||
+ | {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {0} & {-p} & {0} \\ | ||
+ | {0} & {\frac{1}{2}} & {0} & {0} & {0} & {-p} \\ | ||
{0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ | {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ | ||
- | {0} & {\frac{1}{2}} & {-q} & {0} & {0} & {0} \\ | + | {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ |
- | {0} & {-p} & {\frac{1}{2} | + | {-q} & {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} & {0} \\ |
- | {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} & {-q} & {0} \\ | + | {0} & {-q} & {0} & {0} & {0} & {\frac{1}{2}} |
- | {0} & {0} & {0} & {-p} & {\frac{1}{2}} & {0} \\ | + | |
- | {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} | + | |
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
\begin{pmatrix} | \begin{pmatrix} | ||
Line 504: | Line 505: | ||
\end{pmatrix} | \end{pmatrix} | ||
$$ | $$ | ||
+ | |||
+ | $ \\ $ | ||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | 결과로 얻은 행렬 $H_1, | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | {1} & {-q} & {0} & {0} & {-p} & {0} \\ | ||
+ | {-p} & {2} & {-q} & {-q} & {0} & {-p} \\ | ||
+ | {0} & {-p} & {1} & {0} & {-q} & {0} \\ | ||
+ | {0} & {-p} & {0} & {1} & {-q} & {0} \\ | ||
+ | {-q} & {0} & {-p} & {-p} & {2} & {-q} \\ | ||
+ | {0} & {-q} & {0} & {0} & {-p} & {1} | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 이는, 앞서 으뜸 방정식의 다음과 같은 형태에서 볼 수 있는 행렬의 모든 성분에 $(-1)$을 곱해준 것과 같으므로 | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} | ||
+ | P(\text{OOXX}) \\ | ||
+ | P(\text{OXOX}) \\ | ||
+ | P(\text{OXXO}) \\ | ||
+ | P(\text{XOOX}) \\ | ||
+ | P(\text{XOXO}) \\ | ||
+ | P(\text{XXOO}) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | -1 & q & 0 & 0 & p & 0 \\ | ||
+ | p & -2 & q & q & 0 & p \\ | ||
+ | 0 & p & -1 & 0 & q & 0 \\ | ||
+ | 0 & p & 0 & -1 & q & 0 \\ | ||
+ | q & 0 & p & p & -2 & q \\ | ||
+ | 0 & q & 0 & 0 & p & -1 | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | \begin{pmatrix} | ||
+ | P(\text{OOXX}) \\ | ||
+ | P(\text{OXOX}) \\ | ||
+ | P(\text{OXXO}) \\ | ||
+ | P(\text{XOOX}) \\ | ||
+ | P(\text{XOXO}) \\ | ||
+ | P(\text{XXOO}) | ||
+ | \end{pmatrix} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $L=4, | ||
+ | |||
+ | $$ H=\sum_i\Biggl\{ -p\sigma_i^+ \sigma_{i+1}^--q\sigma_i^-\sigma_{i+1}^+ | ||
+ | + \frac{(p+q)}{4}(1-\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) \Biggl\} $$ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | $H$의 식에서 음($-$)의 부호에 해당하는 항은 으뜸 방정식에서는 양($+$)의 부호 이므로 $P(\boldsymbol{\tau})$에 대해 ' | ||
+ | |||
+ | $H$의 식에서 양($+$)의 부호에 해당하는 항은 으뜸 방정식에서는 음($-$)의 부호 이므로 $P(\boldsymbol{\tau})$에 대해 ' | ||
+ | |||
+ | 이를 통해, $H$의 행렬 표현에서의 대각 성분이 양의 기여분(in-flux)을 상쇄하는 음의 기여분(out-flux)을 준다는 것을 확인할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
====== 참고 문헌 ====== | ====== 참고 문헌 ====== | ||
Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014. | Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014. |