2차원 XY모형의 해밀토니안은 다음과 같다. $$\beta H = -K\sum_{\langle mn\rangle} \cos(\theta_m-\theta_n)$$

위 해밀토니안에서 몇가지 변환을 거치면 다음과 같은 Sine-Gordon모형의 꼴과 같아진다. $$Z(K,y) = \int [\mathcal D\phi(\mathbf r)] \exp\left[\int d^dr \left\{-\frac12 \vert\nabla\phi\vert^2+2y\cos(2\pi\sqrt K\phi(\mathbf r))\right\}\right]$$ 여기서 $y$는 소용돌이의 퓨가시티(vortex fugacity)이다. 지금부터 이를 운동량 껍질 재규격화(Momentum shell RG)방법을 사용해 분석해보고자 한다. 이를 위해 먼저 장 $\phi(\mathbf r)$를 다음 두 항으로 쪼개어 나타내자. $$\phi(\mathbf r) = \frac{1}{(2\pi)^2}\int d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k) = \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_0^{\Lambda/b} d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k)}_{\phi_l(\mathbf r)} + \underbrace{\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{\Lambda/b}^\Lambda d^2k e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\phi(\mathbf k)}_{\phi_s(\mathbf r)}$$