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물리:xy모형 [2023/09/03 17:56] – [$i$와 $j$를 제외한 소용돌이들 주변으로의 적분] admin | 물리:xy모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 216: | Line 216: | ||
$$ 2\pi \tau d\tau \int_{\overline{D}(i, | $$ 2\pi \tau d\tau \int_{\overline{D}(i, | ||
+ | 첫 번째 항의 적분은 계의 전체 면적 $A$를 준다(제외되는 반경 $\tau$는 작으므로 무시): | ||
+ | $$\int_{\overline{D}(i, | ||
+ | 두 번째 항의 적분은 계의 반경을 $R$이라 했을 때에 $R$이 매우 크다면 마치 $\mathbf{r}_k$가 원점에 있는 것처럼 다음처럼 구해진다: | ||
+ | $$\int_{\overline{D}(i, | ||
+ | 세 번째 항의 적분 역시 마찬가지로 $\tau$가 작고 $R$이 큰 극한에서 행한다. 편의상 $\mathbf{r}_k = (\rho,0)$, $\mathbf{r}_l = (-\rho, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \int_0^R \int_0^{2\pi} \frac{(r^2-\rho^2)}{(r^2+\rho^2+2\rho r\cos\theta) (r^2+\rho^2-2\rho r\cos\theta)}r d\theta dr | ||
+ | &=& \pi \ln\left[ \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{R^2}{\rho^2} \right) \right]\\ | ||
+ | & | ||
+ | &=& 2\pi \ln\left( \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l \right|} \right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | 위 결과들을 모두 더하면 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | 2\pi \tau d\tau \left(A + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^4 \sum_k \ln \frac{R}{\tau} + 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \frac{R}{\left| \mathbf{r}_k | ||
+ | & | ||
+ | &=& 2\pi \tau d\tau \left( A - 2\pi \tau^2 \beta^2 p^2 \sum_{k \neq l} p_k p_l \ln \left| \frac{\mathbf{r}_k - \mathbf{r}_l}{\tau} \right| \right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | 따라서 | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
Z &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}\\ | Z &=& \sum_{n} \frac{1}{(n!)^2} \kappa^{2n} \int_{D_{2n}} d\mathbf{r}_{2n} \cdots \int_{D_{1}} d\mathbf{r}_{1} e^{-\beta H_{2n}}\\ | ||
Line 239: | Line 259: | ||
====피적분함수의 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경==== | ====피적분함수의 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경==== | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa^{2n} \exp\left[ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln \tau \right] & | ||
+ | &=& \kappa^{2n} \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} \exp \left( \beta \sum_{i \neq j} p_i p_j \frac{d\tau}{\tau} \right) | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 여기에서 $p_i = -p_j$인 인접한 소용돌이 쌍들이 대부분을 기여하므로 $\sum_{i \neq j} p_i p_j \approx -2n p^2$으로 근사하면, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa^{2n} \exp \left( - 2n \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \exp \left\{ -\beta\sum_{i\neq j} p_i p_j \ln (\tau+d\tau) \right\} | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 따라서 휘산도의 변화는 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \kappa \tau^2 & | ||
+ | & | ||
+ | &=& \kappa \left( 1 - \beta p^2 \frac{d\tau}{\tau} \right) \tau^2 \left(1 + 2 \frac{d\tau}{\tau} \right)\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | ====결과==== | ||
+ | |||
+ | 차단 길이 $\tau$를 $\tau+d\tau$로 변경함에 따라 계의 맺음변수들이 다음처럼 변화한다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \beta p^2 & | ||
+ | \kappa \tau^2 & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 만일 $x \equiv \beta p^2 - 2$와 $y \equiv 2\pi \kappa \tau^2$을 정의한다면 아래처럼 쓸 수 있다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | dx &=& -(x+2)^2 y^2 \frac{d\tau}{\tau}\\ | ||
+ | dy &=& -xy \frac{d\tau}{\tau}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $\lambda \equiv \ln \tau$로 정의하는 것도 일반적이다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dx}{d\lambda} &=& -(x+2)^2 y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $(x, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dx}{d\lambda} &=& -4y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& -xy, | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | $x = 2\pi K -2$로 쓸 수도 있으므로 $K$와 $y$에 대해 정리하면 아래의 꼴로 나타나기도 한다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{dK^{-1}}{d\lambda} &=& 2\pi y^2\\ | ||
+ | \frac{dy}{d\lambda} &=& (2-2\pi K) y. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== |