눈금 바꿈 가설(Scaling Hypothesis)

This is an old revision of the document!

눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 떄문에 나타난다는 가설이다.

이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 상관 길이가 특정한 함수의 가우시안 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.

또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 함수가 상관 길이의 함수로 쓰여질 수 있어야 한다.

$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,...$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,...$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.

$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면 \begin{equation}\notag \begin{split} G(k) &= f(k\xi,b_1/\xi,b_2/\xi,...) \\ &= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1/\xi,b_2/\xi,...)}}{\partial{(b_i/\xi)}}(b_i/\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1/\xi,b_2/\xi,...)}}{\partial{(b_i/\xi)^2}}(b_i/\xi)^2 + higher\left orders \left of \left (b_i/\xi) \\ &= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1/\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1/\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2/\xi)^{x_2} + \dots \\ & = \xi^{y}(g(k\xi) + \left higher \left powers \left of \left \xi^{-1}) \\ & \approx \xi^{y}g(k\xi) \end{split} \end{equation}

다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다.

위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다.

$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다.

지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서 $$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.

$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.

따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.

$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$ $$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta} $$ $$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y](k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$ $$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$

의 결론을 얻는다.

이같은 관계는 종종 “눈금 법칙” 이라고 불린다.