임계지수

보통 강자성 - 상자성 상전이에서 유의미하게 관측되는 데이터의 예로 자화밀도, 자기 감수율, 열용량, 그리고 중성자 산란 단면적과 같은 질서 변수들이 있다.

이 질서 변수들은 특이점 근처에서 온도와 외부 유효 자기장의 멱법칙 함수로 쓰여질수 있다.

예를 들어 열용량 $C$ 가 $|T-T_c|$ 에 어떻게 비례하는지 아래와 같이 써 볼 수 있다. $$ C \propto |T-T_c|^{-\alpha}, \quad T>T_c $$ $$ C \propto |T-T_c|^{-\alpha^{\prime}}, \quad T<T_c $$

이 때 $x = -\alpha$ 로 둔다면, $\alpha , \alpha^{\prime} $ 을 열용량에 대한 임계지수 라고 표현한다. 이와 비슷하게 다른 질서 변수에 대해서도 임계지수를 써줄 수 있다.

강자성 - 상자성 상전이에서 질서변수와 $h, \quad |T-T_c|^{exponents}$ 에 대한 비례관계는 아래와 같다.

$$ m \propto |T-T_c|^{\beta}, \quad h = 0 $$

$T > T_c$ 에서는 $m(T,0) = 0$이다. 이점에 주의할것

$$ m \propto h^{1/\delta} ,\quad T=T_c , h\rightarrow 0 , h\neq 0 $$

$T<T_c$ 에서 $ h = 0 $일때 $m$의 값은 +와 - 중 하나를 택해야 한다. $ T \geq T_c $에서부터는 $h = 0$에서 $m = 0$을 통과한다.

$$ \chi \propto |T-T_c|^{-\gamma^{\pm}} ,\quad h = 0,\quad \chi = \Big(\frac{\partial{m}}{\partial{h}}\Big)_T $$

$\gamma$ 위의 $\pm$ 기호는 임계온도보다 높을때와 낮을때를 의미한다. (note : $h$를 진짜 $0$으로 설정한다면 $h$에 따른$m$의 변화는 측정할 수 없다. 따라서 $h \rightarrow 0$을 적용하다가 0으로 간 값을 의미하는 것일 것)

$$ C \propto |T-T_c|^{-\alpha} ,\quad h = 0$$

$\alpha$도 임계온도 아래와 위에 대해 첨자를 붙일 수 있겠으나 실험 데이터에서 오차 내에서 같은 결과를 주어 통합해서 쓴다.

마지막으로 교차영역에 대한 정보는 상관함수로 나타낼수 있고 상관함수는

$$ G(k) \propto k^{\eta -2},\quad T=T_c,\quad k \rightarrow 0 $$

이다. 교차영역에 대한 사항은 교차영역 참조

강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때 눈금 바꿈 가설에서 상관함수가 임계 온도 근방에서 $\xi^{y}$ 의 함수로 근사 될 수 있음을 보였었다.

또한 상관함수는 $(\text{spin density})^{2} \times (\text{volume})$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다.

$$ 2d_{\sigma} - d = -y $$

$$ d_{\sigma} = \frac{1}{2}(d-y) = \frac{1}{2}(d-2+\eta)$$

두 번째 줄에서 눈금 바꿈 가설에서 유도된 결과인 $$y = 2 - \eta$$ 를 사용하였다. $d_{\sigma}$ 를 스핀 밀도의 척도 차원이라고 하자.

비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지($F$)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다. $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, \quad T > T_c, \rightarrow \nu $$ $$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, \quad T < T_c, \rightarrow \nu^{\prime} $$ $$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$

열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다.

상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 임계지수 $\alpha$ 를 구하기 위해 차원 분석을 활용한다.

$$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$

열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다.

$$ \alpha = 2 - \nu d $$

비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 외부장(applied field $h$)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta}} $ 의

임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다.

이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다.

차원분석