상관 길이

1차원 선 위에 N개의 점이 있고 점마다 1/2 확률로 1혹은 0의 값을 가질 수 있다고 가정해보자. 이때 0 혹은 1로 이루어진 점들이 연속해서 있을 수 있을것이다. 이제 1을 가질 확률을 매우 낮게 줄이고 0을 가지는 확률을 매우 높게 설정해보자. 그렇다면 0을 가지는 점들의 연속은 더 길어질 것이다. 만일 $N \rightarrow \infty,\quad p_0 \rightarrow 1$ 이라면 0을 가지는 열의 길이는 아주 클 것이다.

상관 함수에서 파수 벡터 공간의 상관함수 $G(k)$ 는 $k=0$ 에서 $G(0) = \chi/T$ 인 봉우리값과 그 주변으로 폭 $\xi^{-1}$ 를 가지는 뾰족한 함수로 근사될 수 있다.

이때 폭을 상관 길이의 역수라고 가정하는데 온도가 상전이 온도 근처이고 외부에서 아무런 자기장이 걸리지 않았을 때 테일러 전개의 2차 미분과 상관 길이가 발산한다는 사실을 이용하여

테일러 전개를 이용하여 함수를 근사하면 상관 길이의 값을 추측할 수 있다.

$$\xi^{2} = -\frac{1}{2}G^{-1}(0)(d^{2}G(k)/dk^{2})_{k=0} , \quad |T-T_c| <<1,\quad h = 0$$

이 때 $G(k)$가 0 근처에서 매우 뾰족한 함수이기 떄문에 2차 미분의 값은 매우 클 것이다. 따라서 $\xi$ 는 임계온도 근처에서 발산한다는 사실을 알 수 있다.

따라서 상관 길이 $\xi$에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu}, T>T_c$$ $$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, T<T_c$$

눈금 바꿈 가설에서 $\nu$ 와 $\nu^{\prime}$ 를 같게 둔다. 이는 매우 그럴싸한 추측이다.