Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 복제_트릭 [2022/11/16 11:04] – created jiwon
+++ 복제_트릭 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
@@ Line 169: / Line 169: @@
 \end{align}
-====보조장의 의미====
-한 위치에서 복제본 사이의 상관관계를 보기 위해 $S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta}$의 기대값을 계산하자. 먼저 열적평균(thermal average, $\left< \ldots \right>$)을 취한 다음 무질서평균을 취한다.
-\begin{align}
-\left[ \big\langle S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \big\rangle \right]
-    =& \left[ \frac{\text{Tr}_n \ S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \exp \left( -\beta \sum_{\gamma} H^{\gamma} \right)}{\text{Tr}_n \ \exp \left( -\beta\sum_{\gamma} H^{\gamma} \right) } \right]
-\end{align}
-여기에서 $H^\gamma = -\sum_{i<j} J_{ij} S_i^\gamma S_j^\gamma - h\sum_i S_i^\gamma$이다.
-분모에서 $\text{Tr}_n \ \exp \left( -\beta\sum_{\gamma} H^{\gamma} \right) = Z^n$이고 $n\to 0$에서 이는 $1$로 수렴할 것이므로 우리가 고려해야 할 것은 다음과 같은 양이다:
-\begin{align}
-&\left[ \text{Tr}_n \ S_{i}^{\gamma} S_{i}^{\delta} \exp \left( -\beta \sum_{\alpha} H^{\alpha} \right) \right]\\
-    &= \int \left[ \prod_{i < j} dJ_{ij} \ P(J_{ij}) \right] \text{Tr}_n S_{k}^{\gamma} S_{k}^{\delta}
-    \exp \left[ \beta \sum_{i < j} J_{ij} \sum_{\alpha = 1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{\alpha=1}^n S_{i}^{\alpha} \right] \\
-    &= C^{\prime} \exp \left( \frac{N \beta^2 J^2 n}{4} \right) \int \prod_{\alpha < \beta} dq_{\alpha \beta} \int \prod_{\alpha} dm_{\alpha} \
-    \exp \left( -\frac{N \beta ^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{N \beta J_0}{2} \sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 \right) \text{Tr}_n S_{k}^{\gamma} S_{k}^{\delta} \exp \left[ \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta} \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} + \beta \sum_{\alpha} \left( J_0 m_{\alpha} + h \right) \sum_{i} S_{i}^{\alpha} \right].
-\end{align}
-여기서 $\text{Tr}_n$ 부분을 계산할 때, $i\neq k$이면 앞과 똑같이 $\text{Tr}^{\prime} e^L$만큼을 내어놓고 $i=k$일 때에만 $\text{Tr}^{\prime} \left( S_{k}^{\gamma} S_{k}^{\delta} e^L \right)$을 주므로
-\begin{align}
-    \therefore \left[ \big\langle S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \big\rangle \right]
-    =& \left[ \text{Tr} \ S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \exp \left( -\beta \sum_{\gamma} H^{\gamma} \right) \right] \\
-    =& \left( \text{Tr}^{\prime} e^L \right)^{N-1} \text{Tr}^{\prime} \left( S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} e^L \right).
-\end{align}
-모든 스핀은 평균적으로 동등하므로 $i$라는 인덱스는 떼어버려도 되겠다. $n \rightarrow 0$인 극한에서 $\text{Tr}^{\prime} e^L \to 1$ 이므로 위 식은 $q_{\alpha \beta} = \text{Tr}^\prime S^\alpha S^\beta e^L / \text{Tr}^\prime e^L$과 같아진다. 즉,
-\begin{equation}
-    q_{\alpha \beta}=\left[ \big\langle S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \big\rangle \right].
-\end{equation}
-마찬가지 논법으로,
-\begin{equation}
-    m_{\alpha}=\left[ \big\langle S_{i}^{\alpha} \big\rangle \right]
-\end{equation}
-이다.
-이것으로 볼 때 $m$은 일반적으로 사용되는 강자성 질서맺음변수(ferromagnetic order parameter)로 해석할 수 있으며, $q_{\alpha \beta}$는 스핀유리 질서맺음변수(spin glass order parameter)라고 불린다. 복제본들은 서로 독립적이므로 상관함수는 쪼개어 쓸 수 있고, 그래서 만일 복제본들이 대칭성(replica symmetry)을 가진다면
-\begin{equation}
-q_{\alpha \beta} = \left[ \left< S_i^\alpha S_i^\beta \right> \right] = \left[ \left< S_i^\alpha \right> \left< S_i^\beta \right> \right] = \left[ \left< S_i \right>^2 \right] = q
-\end{equation}
-와 같은 형태가 된다. 스핀유리상(spin glass phase)에서 스핀들은 위아래를 가리킨 채로 굳어있게(frozen) 될 텐데 따라서 개별 스핀은 $\left< S_i \right> \neq 0$일 것이다. 무질서에 대해 평균을 내면 $m=\left[ \big\langle S_{i} \big\rangle \right]=0$이 될 테지만, $q = \left[ \left< S_i \right>^2 \right]$은 양수인 값을 가지는 것이 가능하다.
-상자성 상(paramagnetic phase)에서는 $m=q=0$이고, 강자성 상(ferromagnetic phase)에서는 $m$과 $q$ 모두 0이 아닌 값을 가진다.