아래 식의 좌변에서 $Z_n$을 감싸고 있는 꺽쇠는 무질서평균을 뜻하며, $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \ldots$의 그리스 문자들은 복제본을 가리키는 인덱스들이다. \begin{align} \left[ Z^n \right] &= \int \left[ \prod_{i<j} dJ_{ij} P\left( J_{ij} \right) \right] \text{Tr}_n \exp \left[ \beta \sum_{i<j} J_{ij} \sum_{\alpha = 1}^n S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} + \beta h \sum_{i=1}^N \sum_{\alpha = 1}^{n} S_{i}^{\alpha} \right] \\ &= \text{Tr}_n \int \begin{pmatrix} dJ_{12} P(J_{12}) & \times dJ_{13} P(J_{13}) & \times \cdots & \times dJ_{1n} P(J_{1n}) \\ & \times dJ_{23} P(J_{23}) & \times \cdots & \times dJ_{2n} P(J_{2n}) \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \times dJ_{n-1,n} P(J_{n-1,n}) \end{pmatrix} \\ &\exp\left[ \beta \sum_{\alpha = 1}^n \left( J_{12}S_{1}^{\alpha} S_{2}^{\alpha} + J_{13}S_{1}^{\alpha} S_{3}^{\alpha} + \cdots + J_{23}S_{2}^{\alpha} S_{3}^{\alpha} + \cdots + J_{ij}S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha} + \cdots \right) + \beta h \sum_{\alpha = 1}^{n} \left( S_{1}^{\alpha} + S_{2}^{\alpha} + \cdots + S_{N}^{\alpha} \right) \right] \end{align} 여기서 $\text{Tr}_n$은 복제본들의 모든 가능한 스핀 배열(configuration)들에 대한 대각합이다. 먼저 $J_{ij}$에 대한 적분을 할 텐데, 식을 조금 더 읽기 편하게끔 만들기 위해 $X \equiv \sum_{\alpha = 1}^n S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha}$로 둔다. \begin{align} &\int dJ_{ij} \ P(J_{ij}) \exp\left[ \beta J_{ij} \sum_{\alpha = 1}^n S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha} \right] \\ &= \int dJ_{ij} \ \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \exp\left[ -\frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J_0}{N} \right)^2 + \beta J_{ij} X \right] \\ &= \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \int dJ_{ij} \ \exp\left[ -\frac{N}{2J^2}\left( J_{ij}^2 - \frac{2J_0}{N}J_{ij} + \frac{J_0^2}{N^2} \right) + \beta J_{ij} X \right] \\ &= \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \int dJ_{ij} \ \exp\left[ -\frac{N}{2J^2}\left[ J_{ij} - \frac{J^2}{N} \left( \frac{J_0}{J^2} + \beta X \right) \right]^2 + \frac{\beta X J_0}{N} + \frac{J^2}{2N}\beta^2 X^2 \right] \end{align} 지수를 완전제곱 꼴로 만들고 나면 가우스 적분을 바로 이용할 수 있으므로 \begin{equation} \int \exp\left[ -\frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J^2}{N}\left( \frac{J_0}{J^2} + \beta X \right) \right)^2 \right] dJ_{ij} = \sqrt{\frac{2J^2\pi}{N}} = \left( \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \right)^{-1} \end{equation} 이며, 이것이 적분식 앞의 계수를 상쇄하게끔 되어 있다. 따라서 \begin{align} \therefore &\int dJ_{ij} \ P(J_{ij}) \exp\left[ \beta J_{ij} \sum_{\alpha = 1}^n S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha} \right] = \exp\left( \frac{\beta J_0}{N}X + \frac{\beta^2 J^2}{2N}X^2 \right) \\ &= \exp\left[ \frac{1}{N}\beta J_0 \left( \sum_{\alpha=1}^n S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha} \right) + \frac{1}{2N}\beta^2 J^2 \left( \sum_{\alpha=1}^n S_{i}^{\alpha}S_{j}^{\alpha} \right) \left( \sum_{\beta=1}^n S_{i}^{\beta}S_{j}^{\beta} \right) \right] \end{align} 이 되어 서로 다른 복제본들 사이의 결합항이 나타난다. 임시적인 결론으로서, $n$개의 복제본에 대한 분배함수의 무질서평균은 아래의 형태로 쓰여진다. \begin{align} \therefore \left[Z^n\right] = \text{Tr}_n \exp \left[ \frac{1}{N} \sum_{i<j} \left( \frac{1}{2}\beta^2 J^2 \sum_{\alpha\beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \beta J_0 \sum_\alpha S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} \right) + \beta h \sum_{i} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} \right] \end{align}

위에 나타난 스핀들 사이의 결합항 $Y \equiv \sum_{i<j} \sum_{\alpha\beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta}$와 $W \equiv \sum_{i<j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha}$를 조사해보자. 먼저 $Y$에서 인덱스들 간의 대소관계를 살펴보면 아래처럼 고쳐 쓸 수 있다: \begin{align} Y &= \sum_{i<j} \sum_{\alpha = 1}^{n} \sum_{\beta = 1}^{n} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} \\ &= \sum_{i<j} \left( \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \sum_{\alpha = \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \sum_{\alpha > \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} \right) \\ &= \sum_{i<j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \sum_{\alpha} \left( S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} \right)^2 \right] \\ &= \sum_{i<j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + n \right] \\ &= \sum_{i,j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + n \right] - \sum_{i>j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + n \right] - \sum_{i=j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + n \right]. \end{align} 여기에서 두 번째 항은 그 바로 윗줄의 $Y$ 표현식과 사실상 동일하다. 이를 좌변으로 넘겨 $2Y$라고 쓰도록 하자. 그리고 마지막 항은 $i=j$인 경우만 다루므로 $S_i^\alpha S_j^\alpha S_i^\beta S_j^\beta = 1$이다. 이를 $\alpha<\beta$에 대해 더하므로 답은 $n(n-1)/2$가 나온다. 이를 대입하자. \begin{equation} \therefore 2Y = \sum_{i,j} \left[ 2 \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + n \right] - \sum_i \left( n^2 - n + n \right) \end{equation} 이때 $\sum_{ij}$을 가진 앞의 항은 $N^2$에 비례하는 기여를 하고 $\sum_i$만을 가진 뒤의 항은 $N$에 비례하는 기여를 하는데, $N \gg 1$인 경우를 다루고 있으므로 뒤의 항은 무시할 수 있다. 그러므로 \begin{equation} Y \cong \sum_{i,j} \sum_{\alpha < \beta} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} S_{i}^{\beta} S_{j}^{\beta} + \frac{N^2}{2}n = \sum_{\alpha < \beta} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \right)^2 + \frac{N^2}{2}n \end{equation} 이다.

$W$에서도 인덱스 $i$와 $j$ 사이의 대소관계를 살펴보면 다음처럼 고쳐쓰게 된다: \begin{align} W &= \sum_{i<j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} \\ &= \sum_{i,j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} - \sum_{i>j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} - \sum_{i=j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha}. \end{align} 이 때 $\sum_{i>j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha}$ 는 $i$와 $j$ 인덱스만 바꾸면 $W$와 같으므로 \begin{equation} 2W = \sum_{i,j} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} S_{j}^{\alpha} - \sum_i \sum_\alpha \left( S_{i}^{\alpha} \right)^2 \end{equation} 이며 $\left( S_i^\alpha \right)^2 = 1$임은 자명하다. 여기에서도 앞의 항은 $N^2$에 비례하고 뒤의 항은 $N$에 비례하므로 뒤의 항은 무시한다. \begin{equation} W = \frac{1}{2}\sum_{\alpha} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} \right)^2 - \frac{N}{2}n \cong \frac{1}{2} \sum_{\alpha} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} \right)^2 \end{equation}

따라서 $N \gg 1$ 이면, \begin{align} \left[ Z^n \right] &\cong \text{Tr}_n \exp \left\{ \frac{\beta^2 J^2}{2N} \left[ \sum_{\alpha < \beta} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \right)^2 + \frac{N^2}{2}n \right] + \frac{\beta J_0}{2N} \sum_{\alpha} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} \right)^2 + \beta h \sum_{i} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} \right\} \\ &= \exp\left( \frac{\beta^2 J^2}{4}Nn \right) \text{Tr}_n \exp \left\{ \frac{\beta^2 J^2}{2N} \sum_{\alpha < \beta} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \right)^2 + \frac{\beta J_0}{2N}\sum_{\alpha}\left(\sum_i S^{\alpha}_i\right)^2+ \beta h \sum_{i} \sum_{\alpha} S_{i}^{\alpha} \right\} \end{align} 이다.

여기서 제곱항을 처리해주기 위해 허바드-스트라토노비치 변환을 취하자 (해당 페이지에서 $a = \beta^2 J^2$과 $x = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_i S_i^{\alpha} S_i^{\beta}$를 대입해준 것과 같다). 이 과정에서 보조장(auxiliary field)인 $q_{\alpha \beta}$가 도입된다: \begin{equation} \exp \left[ \frac{\beta^2 J^2}{2N} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{\beta^2 J^2 N}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dq_{\alpha \beta} \ \exp \left[ -\frac{N \beta^2 J^2}{2} q_{\alpha \beta}^2 + \beta^2 J^2 q_{\alpha \beta} \left( \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\alpha} \right) \right]. \end{equation} 또다른 제곱항은 보조장 $m_{\alpha}$를 도입하여 마찬가지로 허바드-스트라토노비치 변환을 취한다: \begin{equation} \exp \left[ \frac{\beta J_0}{2N} \left(\sum_i S_i^{\alpha} \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{\beta J_0 N}{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} dm_{\alpha} \ \exp \left[ -\frac{N \beta J_0}{2}m_{\alpha}^2 + \beta J_0 m_{\alpha} \left( \sum_i S_{i}^{\beta} \right) \right]. \end{equation} 이 표현식들을 대입하고, 변환으로 인해 생기는 계수들을 생략한다면 다음처럼 적을 수 있다: \begin{equation} \left[ Z^n \right] ~\propto~ \exp \left( \frac{\beta^2 J^2}{4}Nn \right) \int \prod_{\alpha < \beta} dq_{\alpha \beta} \int \prod_{\alpha} dm_{\alpha} \exp \left( -\frac{N \beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{N \beta J_0}{2}\sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 \right) \text{Tr}_n \exp \left( \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta} \sum_i S_{i}^{\alpha} S_{i}^{\beta} + \beta \sum_{\alpha} \left( J_0 m_{\alpha} + h \right) \sum_i S_{i}^{\alpha} \right). \end{equation} 끄트머리의 지수 함수 안에 스핀 위치에 대한 합 $\sum_i$만이 들어있음에 주의하자. 일반적으로 \begin{equation} \text{Tr}_n \exp\left( \sum_i^N L_i \right) = \left( \text{Tr}^\prime e^L \right)^N \end{equation} 과 같은 식으로 분해해서 쓸 수 있다. 예를 들어 $N=2$이고 $n=1$이라면 \begin{align} \text{Tr}_n \exp \left( L_1 + L_2 \right) &= e^{L_1^{+}}e^{L_2^{+}} + e^{L_1^{+}}e^{L_2^{-}} + e^{L_1^{-}}e^{L_2^{+}} + e^{L_1^{-}}e^{L_2^{-}} \\ &= \left( e^{L_1^{+}} + e^{L_1^{-}} \right) \left( e^{L_2^{+}} + e^{L_2^{-}} \right) \end{align} 이라는 뜻이다. 혹은 $N=2$이고 $n=2$라면 \begin{align} \text{Tr}_n \exp \left( L_1 + L_2 \right) &= \left( e^{L_1^{++}} + e^{L_1^{+-}} + e^{L_1^{-+}} + e^{L_1^{--}} \right) \left( e^{L_2^{++}} + e^{L_2^{+-}} + e^{L_2^{-+}} + e^{L_2^{--}} \right) \end{align} 처럼 될 것이다. 물론 $\left( \text{Tr}^\prime e^L \right)^N = \exp \left( N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right)$로도 쓸 수 있다. 여기서 $\text{Tr}^{\prime}$은 특정 위치의 스핀 하나에 대해 취하는 대각합이다 (단, 위치 $i$만을 고정했을 뿐, 다른 복제본들이 개입되었을 수는 있음). 지금의 경우 \begin{align} L \equiv \beta^2 J^2 \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta} S^{\alpha} S^{\beta} + \beta \sum_{\alpha} \left( J_0 m_{\alpha} + h \right) S^{\alpha} \end{align} 가 된다. 다시 정리하면, 분배함수의 무질서평균은 아래와 같다: \begin{equation} \left[ Z^n \right] ~=~ \exp \left( \frac{N \beta^2 J^2 n}{4} \right) \int \prod_{\alpha < \beta} dq_{\alpha \beta} \int \prod_{\alpha} dm_{\alpha} \exp \left( -\frac{N \beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{N \beta J_0}{2}\sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 \right) \exp \left( N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right). \end{equation}

안장점 근사를 사용하면 $N \to \infty$에서는 적분되고 있는 지수함수 안의 표현식 \begin{equation} -\frac{\beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{\beta J_0}{2}\sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 + \ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \end{equation} 가 최대가 되는 지점이 적분의 값을 결정할 것이라고 논할 수 있다. 이는 위 표현식을 $q_{\alpha \beta}$와 $m_\alpha$로 편미분한 값이 모두 0이 되게끔 하면 찾을 수 있으며, 그 결과는 아래와 같다. \begin{align} &q_{\alpha \beta} = \frac{1}{\beta^2 J^2} \frac{\partial}{\partial q_{\alpha \beta}} \ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} = \frac{\text{Tr}^{\prime} S^{\alpha} S^{\beta} e^{L}}{\text{Tr}^{\prime} e^{L}} \\ &m_{\alpha} = \frac{1}{\beta J_0} \frac{\partial}{\partial m_{\alpha}} \ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} = \frac{\text{Tr}^{\prime} S^{\alpha} e^{L}}{\text{Tr}^{\prime} e^{L}} \end{align} 안장점 근사를 사용해 적분을 수행한 결과는 위에서 찾아진 $q_{\alpha \beta}$와 $m_\alpha$를 피적분함수에 대입해 적분 밖으로 끄집어낸 결과와 비례한다. 적분으로 인해 얻어지는 비례상수들을 모두 모아서 $C^n$으로 적어놓으면 아래와 같이 쓸 수 있다: \begin{align} \left[ Z^n \right] \propto C^n \exp \left[ -\frac{N \beta^2 J^2}{2} \sum_{\alpha < \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{N \beta J_0}{2} \sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 + N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} + \frac{N}{4}\beta^2 J^2 n \right]. \end{align}

이제 입자 하나당의 (무질서평균이 이루어진) 자유에너지 $\left[ f \right]$는 다음의 식을 만족한다. \begin{align} -\beta [f] =& \lim_{n \rightarrow 0} \frac{\left[ Z^n \right] - 1}{nN} = \lim_{n \rightarrow 0} \frac{1}{nN} \left[ -\frac{N \beta^2 J^2}{4} \sum_{\alpha \neq \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{N \beta J_0}{2} \sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 + \frac{Nn}{4}\beta^2 J^2 + N\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right] \\ =& \lim_{n \rightarrow 0} \left[ -\frac{\beta^2 J^2}{4n} \sum_{\alpha \neq \beta} q_{\alpha \beta}^2 - \frac{\beta J_0}{2n} \sum_{\alpha} m_{\alpha}^2 + \frac{\beta^2 J^2}{4} + \frac{1}{n}\ln \text{Tr}^{\prime} e^{L} \right] \end{align}