제어 변수 $x$와 그에 의존하는 값 $F$가 존재한다고 해보자. 즉 $F = F(x)$이다. $s=dF/dx$를 제어 변수로 하는 $G=G(s)$를 도입하면서 $F(x)$가 담고 있던 정보를 그대로 살리고자 한다. 다음 두 조건이 만족될 때 르장드르 변환은 이를 위한 편리한 도구가 된다:

• $d^2F/dx^2$이 언제나 양수여서 $x$와 $dF/dx$ 사이에 일대일 대응이 존재한다.
• $x$보다 $dF/dx$를 측정하거나 고려하기가 더 쉽다.

가로축 상의 위치 $x$에서 $F(x)$의 접선을 긋고 (그 기울기는 물론 $s$이다) 이 접선이 $y$축 ($x=0$)과 만나는 점을 $-G$라고 지정하면 $$\frac{F - (-G)}{x} = s$$ 이기 때문에 $G = sx - F$가 된다. $G = G(s)$라고 했으므로, 더 자세히 적으면 $$G(s) = s x(s) - F[x(s)]$$ 이다.

만일 한번 더 르장드르 변환을 하고자 $y = dG/ds$와 $H=H(y)$를 도입하여 적어보면, $$H(y) = y s(y) - G[s(y)]$$ 를 얻는다. 다시 말해 $G = sy - H$이니까 원래의 식 $G= sx-F$와 비교해보면 $$\{F, x\} \leftrightarrow \{H, y\}$$ 로서 모든 정보를 유지한 채 제자리로 돌아올 수 있다는 뜻이다.

조화 퍼텐셜 $U = \frac{1}{2}k(x-x_{\min})^2$가 있고, 원래 그 최소점인 $x_{\min}$에 입자가 하나 있었다고 해보자. 힘 $f$가 걸릴 때의 입자의 위치 $x$를 생각해보면, 방정식 $$\frac{dU}{dx} = k(x - x_{\min}) = f$$ 를 통해 구할 수 있다. 왜냐하면 퍼텐셜에서 비롯되는 힘은 $-dU/dx$이고 이 힘이 $-dU/dx + f = 0$로 역학적 평형을 이뤄야 하기 때문이다. 위의 식을 $$x(f) = \frac{f}{k} + x_{\min}$$ 으로 고쳐 적을 수도 있을 것이다.

$U(x)$의 르장드르 변환은 \begin{eqnarray*} V(f) &=& fx(f) - U[x(f)]\\ &=& f \left( \frac{f}{k} + x_{\min} \right) - \frac{1}{2}k \left[ \left(\frac{f}{k} + x_{\min} \right) - x_{\min} \right]^2\\ &=& \frac{f^2}{k} + fx_{\min} - \frac{1}{2} \frac{f^2}{k}\\ &=& \frac{1}{2} \frac{f^2}{k} + fx_{\min} \end{eqnarray*} 이다. 한번 더 변환하면 원래의 식이 얻어지며, 아래의 식 역시 쉽게 확인 가능하다: $$x(f) = \frac{dV}{df}.$$

만일 르장드르 변환을 통해 $V(f)$를 도입하는 대신 $U$를 $f$에 대해 씀으로써 $U[x(f)]$만을 적는다면 $x_{\min}$이라는 정보는 사라짐에 유의한다.

엔트로피 $S$를 볼츠만 상수 $k_B$로 나눈 양을 $\mathcal{S}$라고 하자. 엔트로피의 통계역학적 해석에 의하면 $\mathcal{S} = \ln W(U)$인데, $W(U) dU$란 내부 에너지가 $U$와 $U+dU$ 사이인 계가 가질 수 있는 위상공간의 부피를 말한다.

분배 함수 $Z$는 다음처럼 라플라스 변환을 통해 $W(U)$와 연결된다: $$Z(\beta) = \int W(U) e^{-\beta U} dU.$$ 이 때에 $\beta$란 온도 $T$에 대해 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$를 의미한다.

브롬위치 적분을 통해 라플라스 변환의 역변환을 취하면 $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C Z(\beta) e^{\beta U} d\beta$$ 이다. $C$는 브롬위치 적분의 경로를 말한다.

헬름홀츠 자유 에너지 $F$에 대해 $\mathcal{F} \equiv \beta F$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}(\beta)}$이다. 따라서 $$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$ 이다.

입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 크기 변수이기 떄문에 $O(N)$으로 함께 커진다. 따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다: $$ \frac{\partial}{\partial \beta} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$ 달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다.

그리고 위의 브롬위치 적분은 $$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}[\beta(U)] \right]$$ 으로 구해져서, $\mathcal{S} = \ln W$를 사용하면 $$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S},$$ 혹은 더 익숙한 표현으로는 $F = U - TS$의 결과를 준다.

• R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, Making Sense of the Legendre Transform, Am. J. Phys. 77, 614 (2009), arXiv:0806.1147.