범함수에 대해 이야기 하기 전에 함수의 정의를 떠올려 보자. 예를 들어 함수 $f(x)$가 $f(x)=x^{3}$일 때 $x$에 $3$을 대입하면 $27$을 얻게 된다. 이렇게 어떤 숫자를 대입하였을 때 계산의 결과로서 숫자가 나오는 것을 함수라 할 수 있다. 범함수는 함수와는 조금 다르게 어떤 함수를 대입하였을 때 숫자가 나오는 것이라고 생각하면 된다. 간단한 예를 들자면 다음과 같은 $F$는 범함수라 할 수 있다. $$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx$$ 위의 범함수 $F$에 함수 $f(x)=x^{2}$가 대입되면 $$F[f]=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}$$ 이 된다.

함수의 미분법은 다음과 같이 정의된다. $$\frac{df}{dx}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}$$ 함수의 미분법은 위의 식으로 설명하면 $x$가 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 얼마나 변하는 것인지를 나타내는 표현이다. 이와 같은 방식으로 범함수의 미분법을 정의하면 다음과 같이 정의할 수 있다. $$\frac{\delta F}{\delta f(x)}=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{F[f(x^{\prime})+\epsilon\delta(x-x^{\prime})]-F[f(x^{\prime})]}{\epsilon}$$ 위의 정의식은 함수 $f(x)$가 변하는 정도에 따라 범함수 $F$가 얼마나 변하는 것인지 정의하는 것이므로 $\epsilon$이 조금 변할 때 함수 $f(x)$가 변하고 그로 인해 범함수 $F$가 변하는 정도를 나타낸 것으로 이해할 수 있다. 함수 $f(x)$의 값이 아주 조금 변하는 것은 $\delta$함수로 표현한다.

범함수 $J[f]=\int g(f^{\prime})dy$에 대한 미분법을 예로 들자. 여기서 $f^{\prime}$은 $f^{\prime}=\frac{df}{dy}$이다. 범함수 미분법의 정의식에 대입하면 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\epsilon}\left[\int dyg\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)-\int dyg\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]$$ 로 적을 수 있다. 우변 첫 항을 테일러 전개하여 적어보면 $$g\left(\frac{\partial}{\partial y}[f(y)+\epsilon\delta(y-x)]\right)=g(f^{\prime}+\epsilon\delta^{\prime}(y-x))\approx g(f^{\prime})+\epsilon\delta^{\prime}(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}$$ 로 고쳐 쓸 수 있고 결국 범함수 미분식은 부분적분법을 사용하여 계산하면 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)}=\int dy\delta^{\prime}(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}=\left[\delta(y-x)\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right]-\int dy\delta(y-x)\frac{d}{dy}\left(\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right)$$ 이 된다. 이 때,$x$가 적분 극한들 사이에 있다고 가정하면 첫 항은 사라지고 결국 $$\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{dg(f^{\prime})}{df^{\prime}}\right),\quad\left(f^{\prime}=\frac{df}{dx}\right)$$ 을 얻게 된다. $f^{\prime}=\frac{df}{dx}$는 적분 과정에서 $\delta$함수에 의해 변한 결과이다. 이 결과를 범함수 $F[\phi]=\int\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2}dy$의 미분을 계산할 때 이용할 수 있다. 이 경우를 $J[f]$와 비교해보면 $$F[\phi]=\int\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2}dy=\int g(\phi^{\prime})dy,$$ $$g(\phi^{\prime})=\left(\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)^{2},\quad \phi^{\prime}\equiv\frac{d\phi}{dy}$$ 로 정의할 수 있다. 그러므로 $\frac{\delta J[f]}{\delta f(x)}$의 결과를 이용하면 $$\begin{equation}\notag \begin{split} \frac{\delta F[\phi]}{\delta\phi(x)}&=-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial}{\partial\phi^{\prime}}\left(\frac{d\phi}{dx}\right)^{2}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial}{\partial\phi^{\prime}}(\phi^{\prime})^{2}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[2\phi^{\prime}\right] \\ &=-\frac{\partial}{\partial x}\left[2\frac{\partial\phi}{\partial x}\right] \\ &=-2\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} \end{split} \end{equation}$$ 을 얻게 된다.

밀도장 $\rho(\vec{r},t)$와 퍼텐셜 $U(|\vec{r}-\vec{r}'|)$에 대해 $\Phi(\vec{r},t) \equiv \int \rho(\vec{r}',t) U(|\vec{r}-\vec{r}'|) d\vec{r}'$라고 정의하자. 다음과 같은 계를 고려하는데 $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u}) &=& 0\\ \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} &=& -\frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \end{eqnarray*}$$ $P$는 일종의 압력, $\xi$는 감쇠 계수를 의미힌다. 그러면 아래의 리아푸노프 함수가 존재해서 $$F[\rho,\vec{u}] = \int \rho \int^\rho \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' d\vec{r} + \frac{1}{2} \int \rho \Phi d\vec{r} + \int \rho \frac{|\vec{u}|^2}{2} d\vec{r}$$ 그 시간 변화율이 언제나 $$\frac{dF}{dt} = - \int \xi \rho |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0$$ 임을 보일 수 있다.

표기를 약간 간단하게 하기 위해 $\Psi(\rho) \equiv \int^\rho \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho'$라 하자. $$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}') \Psi(\vec{r}') d\vec{r}'&=& \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}') + \epsilon \delta (\vec{r}'-\vec{r}) \right] \int^{\rho(\vec{r}') + \epsilon \delta (\vec{r}'-\vec{r})} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' d\vec{r}' - \int \rho(\vec{r}') \int^{\rho(\vec{r}')} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' d\vec{r}' \right\}\\ &\approx& \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}') + \epsilon \delta (\vec{r}'-\vec{r}) \right] \left[ \int^{\rho(\vec{r}')} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' + \frac{P[\rho(\vec{r}')]}{\rho^2(\vec{r}')} \epsilon \delta (\vec{r}'-\vec{r}) \right] d\vec{r}' - \int \rho(\vec{r}') \int^{\rho(\vec{r}')} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' d\vec{r}' \right\}\\ &\approx& \int \rho(\vec{r}') \frac{P[\rho(\vec{r}')]}{\rho^2(\vec{r}')} \delta(\vec{r}'-\vec{r}) d\vec{r}' + \int \delta(\vec{r}'-\vec{r}) \int^{\rho(\vec{r}')} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho'\\ &=& \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \int^{\rho(\vec{r})} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho'\\ &=& \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} + \Psi[\rho(\vec{r})] \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}') \Phi(\vec{r}') d\vec{r}' &=& \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}') \int \rho(\vec{r}'') U(|\vec{r}'-\vec{r}''|) d\vec{r}'' d\vec{r}'\\ &=& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}') + \epsilon \delta(\vec{r}-\vec{r}') \right] \left[ \rho(\vec{r}'') + \epsilon \delta(\vec{r}-\vec{r}'') \right] U(|\vec{r}'-\vec{r}''|) d\vec{r}'' d\vec{r}' - \int \rho(\vec{r}') \int \rho(\vec{r}'') U(|\vec{r}'-\vec{r}''|) d\vec{r}'' d\vec{r}' \right\}\\ &\approx& \int \rho(\vec{r}') \delta(\vec{r}-\vec{r}'') U(|\vec{r}'-\vec{r}''|) d\vec{r}'' d\vec{r}' +\int \rho(\vec{r}'') \delta(\vec{r}-\vec{r}') U(|\vec{r}'-\vec{r}''|) d\vec{r}'' d\vec{r}'\\ &=& \int \rho(\vec{r}') U(|\vec{r}'-\vec{r}|) d\vec{r}' + \int \rho(\vec{r}'') U(|\vec{r}''-\vec{r}|) d\vec{r}''\\ &=& 2\Phi(\vec{r}) \end{eqnarray*}$$

이 계산이 가장 간단하다. $$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta \rho(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}') \frac{|\vec{u}(\vec{r}')|^2}{2} d\vec{r}' &=& \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{\epsilon} \left\{ \int \left[ \rho(\vec{r}') + \epsilon \delta (\vec{r}-\vec{r}') \right] \frac{|\vec{u}(\vec{r}')|^2}{2} d\vec{r}' - \int \rho(\vec{r}') \frac{|\vec{u}(\vec{r}')|^2}{2} d\vec{r}'\right\}\\ &=& \int \delta (\vec{r}-\vec{r}') \frac{|\vec{u}(\vec{r}')|^2}{2} d\vec{r}'\\ &=& \frac{|\vec{u}(\vec{r})|^2}{2} \end{eqnarray*}$$

연쇄법칙(chain rule)에 의해 $$\frac{dF}{dt} = \int d\vec{r} \left( \frac{\delta F}{\delta \rho(\vec{r})} \frac{\partial \rho(\vec{r},t)}{\partial t} + \frac{\delta F}{\delta u_x(\vec{r})} \frac{\partial u_x(\vec{r},t)}{\partial t} + \frac{\delta F}{\delta u_y(\vec{r})} \frac{\partial u_y(\vec{r},t)}{\partial t} + \frac{\delta F}{\delta u_z(\vec{r})} \frac{\partial u_z(\vec{r},t)}{\partial t} \right).$$ $\vec{u}$의 성분별로도 변분하는 과정이 필요하다. 예를 들어 $$\begin{eqnarray*} \frac{\delta}{\delta u_x(\vec{r})} \int \rho(\vec{r}') \frac{u_x^2(\vec{r}') + u_y^2(\vec{r}') + u_z^2(\vec{r}')}{2} d\vec{r}' &=& \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} \int \rho(\vec{r}') \frac{[u_x(\vec{r}') + \epsilon \delta(\vec{r}'-\vec{r})]^2 - u_x^2(\vec{r}')}{2} d\vec{r}'\\ &\approx& \int \rho(\vec{r}') \delta(\vec{r}'-\vec{r}) u_x(\vec{r}') d\vec{r}' = \rho(\vec{r}) u_x(\vec{r}). \end{eqnarray*}$$

앞의 결과들을 모두 모으면 다음과 같다: $$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} &=& \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \frac{\partial \rho}{\partial t} d\vec{r} + \int \rho \vec{u} \cdot \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} d\vec{r}\\ &=& \int \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \left[ -\nabla \cdot (\rho \vec{u}) \right] d\vec{r} + \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} - \frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] d\vec{r}\\ &=& \int \nabla \left( \Phi + \Psi + \frac{P}{\rho} + \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r} + \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ -(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} - \frac{1}{\rho} \nabla P - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] d\vec{r}. \end{eqnarray*}$$ 마지막 줄로 넘어올 때에는 부분적분을 시행했다. 이제 $$\begin{eqnarray*} \nabla \Psi &=& \nabla \int^{\rho(\vec{r})} \frac{P(\rho')}{\rho'^2} d\rho' = \frac{P(\rho)}{\rho^2} \nabla \rho\\ \nabla \frac{P[\rho(\vec{r})]}{\rho(\vec{r})} &=& \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P \end{eqnarray*}$$ 임을 이용할 것이다. 따라서 $$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} &=& \int \left[ \nabla \Phi + \frac{P}{\rho^2} \nabla \rho + \frac{\nabla P}{\rho} - \frac{\nabla \rho}{\rho^2} P + \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) \right] \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r} +\int \left[ -(\vec{u}\cdot \nabla) \vec{u} - \frac{\nabla P}{\rho} - \nabla \Phi - \xi \vec{u} \right] \cdot (\rho \vec{u}) d\vec{r}\\ &=& \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) - \xi \vec{u} - (\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} \right] d\vec{r}. \end{eqnarray*}$$ 그런데 Green의 벡터 항등식 $$\nabla^2 (\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \cdot \nabla^2 \vec{B} - \vec{B} \cdot \nabla^2 \vec{A} + 2\nabla \cdot [(\vec{B}\cdot \nabla) \vec{A} + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A})]$$ 을 활용하면 $$(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} = \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) -\vec{u}\times (\nabla \times \vec{u})$$ 임을 보일 수 있다. 그러므로 $$\begin{eqnarray*} \frac{dF}{dt} &=& \int (\rho \vec{u}) \cdot \left[ \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) - \xi \vec{u} - \nabla \left( \frac{|\vec{u}|^2}{2} \right) + \vec{u} \times (\nabla \times \vec{u}) \right] d\vec{r} \end{eqnarray*}$$ 인데 $\vec{u} \times (\nabla \times \vec{u})$는 $\vec{u}$와 수직하므로 $(\rho \vec{u})$와 내적하면 사라진다. 따라서 다음 결과를 얻는다: $$\frac{dF}{dt} = \int (\rho \vec{u}) \cdot (-\xi \vec{u}) d\vec{r} = - \int \rho \xi |\vec{u}|^2 d\vec{r} \le 0.$$

• 변분법
• 정전기학의 톰슨 정리
• 극소 곡면

• T. Lancaster and S. J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gited Amateur (Oxford Univerty Press, 2014).
• P. H. Chavanis, Eur. Phys. J. B 62, 179 (2008) (link).