물리:극소_곡면

개요

주어진 경계 조건 하에서 (국소적으로) 면적을 최소화하는 면. 비누 막은 근사적으로 극소 평면을 이룬다.

수학적 기술

2차원 영역 $\Omega$에 놓여있는 면의 높이가 $V(x,y)$로 기술된다고 하자. $d\vec{u} = \left(dx, 0, \frac{\partial V}{\partial x}dx \right)$와 $d\vec{v} = \left(dy, 0, \frac{\partial V}{\partial y}dy \right)$로 기술되는 작은 면의 넓이는 $dA = |d\vec{u} \times d\vec{v}|$로 기술된다. \[ d\vec{u} \times d\vec{v} = \left(-\frac{\partial V}{\partial x} dx dy \right) \hat{i} + \left(-\frac{\partial V}{\partial y} dx dy \right) \hat{j} + \left( dx dy \right) \hat{k} \] 이므로 $dA = dx dy \sqrt{1 + V_x^2 + V_y^2}$이며 이때 $V_x \equiv \frac{\partial V}{\partial x}$, $V_y \equiv \frac{\partial V}{\partial y}$를 의미한다. 따라서 최소화할 목적함수는 \[ A = \iint_\Omega dx dy \sqrt{1 + V_x^2 + V_y^2} = \iint_\Omega dx dy \sqrt{1+ |\nabla V|^2} \] 이다. 이제 $V(x,y) = f(x,y) + \epsilon g(x,y)$라고 하자. $f(x,y)$는 실제 극소 평면을 주는 답을 의미하고 $g(x,y)$는 그것으로부터의 오차를 의미하는 임의의 함수이다. 단, 경계조건을 만족해야 하므로 경계 $\partial \Omega$에서는 $g=0$이다.

$f(x,y)$가 답이라면 $\left. \frac{d}{d\epsilon} A \right|_{\epsilon=0} = 0$이어야 한다. 즉 \begin{eqnarray*} 0 &=& \left. \frac{d}{d\epsilon} \iint_\Omega \sqrt{1 + |\nabla V|^2} dx dy \right|_{\epsilon=0}\\ &=& \left. \iint_\Omega \frac{\partial}{\partial\epsilon} \sqrt{1 + |\nabla V|^2} dx dy \right|_{\epsilon=0} \end{eqnarray*} 인데 여기에서 \begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial\epsilon} \sqrt{1 + |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2} &=& \frac{\frac{\partial}{\partial\epsilon} |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2}{2\sqrt{1 + |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2}}\\ &=& \frac{1}{2\sqrt{1 + |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2}} \frac{\partial}{\partial\epsilon} \left[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial x} \epsilon \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial y} \epsilon \right)^2 \right]\\ &=& \frac{1}{2\sqrt{1 + |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2}} \frac{\partial}{\partial\epsilon} \left[ f_x^2 + f_y^2 + 2 f_x g_x \epsilon + 2 f_y g_y \epsilon + (g_x^2 + g_y^2) \epsilon^2 \right]\\ &=& \frac{1}{\sqrt{1 + |\nabla f + \epsilon \nabla g|^2}} \left[ f_x g_x + f_y g_y + (g_x^2 + g_y^2) \epsilon \right]\\ &\xrightarrow[\epsilon\to 0]{}& \frac{\nabla f \cdot \nabla g}{\sqrt{1 + |\nabla f|^2}}. \end{eqnarray*} 따라서 \begin{eqnarray*} 0 &=& \left. \iint_\Omega \frac{\partial}{\partial\epsilon} \sqrt{1 + |\nabla V|^2} dx dy \right|_{\epsilon=0}\\ &=& \iint_\Omega \frac{\nabla f \cdot \nabla g}{\sqrt{1 + |\nabla f|^2}} dx dy\\ &=& - \iint_\Omega g \nabla \cdot \left( \frac{\nabla f}{\sqrt{1 + |\nabla f|^2}} \right) dx dy + \int_{\partial \Omega} g \frac{\nabla f \cdot \hat{n}}{\sqrt{1+|\nabla f|^2}} da \end{eqnarray*} 이다. 이때 $\hat{n}$은 경게에서의 수직 방향 벡터를 의미한다. 경계에서 $g=0$이므로 우변 마지막 항은 사라진다. 임의의 $g$에 대해 이 식을 언제나 만족하려면 \[ \nabla \cdot \left( \frac{\nabla f}{\sqrt{1 + |\nabla f|^2}} \right) =0 \] 이어야 한다. 이것이 극소 곡면 $f(x,y)$가 만족하는 식이다. 만일 $|\nabla f| \ll 1$이라면 이 식은 2차원의 라플라스 방정식 $\nabla^2 f = 0$으로 귀착된다.

1차원의 문제라면 간단히 \[ \frac{f_x}{\sqrt{1+f_x^2}} = const. \] 이므로 $f_x = const.$, 즉 $f(x)$가 $x$에 대해 선형이라는 결론을 얻는다.

목적함수 안의 피적분항을 $\sqrt{1+|\nabla V|^2} \approx 1 + \frac{1}{2} |\nabla V|^2$으로 근사하고 앞의 상수항을 버리면 \[ A = \frac{1}{2} \iint_\Omega |\nabla V|^2 dx dy \] 가 되고 이를 최소화하는 $V=f$는 라플라스 방정식 $\nabla^2 f=0$을 만족함을 쉽게 보일 수 있다.

함께 보기

참고 문헌

  • 물리/극소_곡면.txt
  • Last modified: 2020/10/13 20:53
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