$$I = \int_a^b dt ~e^{-x f(t)} g(t)$$ 의 적분을 구하고자 한다. $x \gg 1$이고 구간 안의 어떤 $t_0$에서 $f$가 최소여서 $f'(t_0)=0$이며 $f''(t_0)>0$이라고 하자. $x$가 매우 크므로 $f$의 최소점 부근에서만 주로 적분의 기여가 있을 것으로 기대할 수 있다. 이 최소점 주위에서 $f(t)$를 이차 함수로 전개하여 $$f(t) \approx f(t_0) + \frac{1}{2} f''(t_0) (t-t_0)^2$$ 로 적는다. 위 적분은 다음과 같은 근사값을 가진다: \begin{eqnarray} I &\approx& e^{-x f(t_0)} \int_a^b dt \exp\left[ -\frac{1}{2} x f''(t_0) (t-t_0)^2 \right] g(t_0)\\ &\approx& e^{-x f(t_0)} \sqrt{\frac{2}{f''(t_0)}} \int_{-\infty}^\infty e^{-xy^2} g(t_0). \end{eqnarray} 이 때 $t = t_0 + y\sqrt{2/f''(t_0)}$처럼 $y$를 도입했고, 어차피 $t_0$에서 멀어진 부분은 무의미하므로 적분 구간을 실수 전체로 넓혔다. 이는 단순히 가우스 적분이므로 $$I \approx e^{-x f(t_0)} g(t_0) \sqrt{\frac{2\pi}{x f''(t_0)}}$$ 을 얻는다.

채플링은 다음과 같은 구체적인 예로 설명하고 있다. $x$는 매우 큰 양수이다. $$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x \phi(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix(t^4-4t)} dt.$$ 따라서 $\phi(z) \equiv iz^4 - 4iz$이고 $z=p+iq$로 실수부와 허수부를 표현하면, $$\phi = u + iv = \left( -4p^3 q + 4pq^3 + 4q \right) + i\left(p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p\right)$$ 로서 $u(p,q) = -4p^3 q + 4pq^3 + 4q$와 $v(p,q) = p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p$이다.

$z=re^{i\theta}$로 적으면 $|z|$이 큰 경우 $\phi \approx iz^4 = r^4 \exp i\left(4\theta + \pi/2\right)$로서, $\theta$가 $(0, \pi/4)$ 또는 $(\pi/2, 3\pi/4)$ 또는 $(\pi, 5\pi/4)$ 또는 $(3\pi/2, 7\pi/4)$에 있을 때 $\phi$의 실수부가 음수가 된다. 원래 실수 축을 따라 놓였던 적분 경로를 무리 없이 변형하기 위해서는, 새로운 경로의 양쪽 끝이 $(0, \pi/4)$와 $(\pi, 5\pi/4)$에 각기 놓여야 그 경로를 따라 멀어져 갈 때에 $u\to-\infty$로서 피적분함수가 0으로 접근할 것이다.

이제 피적분함수가 느리게 변하는 정상(stationary) 점을 찾자. $\phi'(z) = 4i(z^3-1)$이므로 다음처럼 3개의 해가 존재한다: \begin{eqnarray*} z_0 &=& 1\\ z_1 &=& e^{2\pi i/3}\\ z_2 &=& e^{-2\pi i/3}. \end{eqnarray*}

$v(p,q)$가 상수 $C$가 되는 경로를 찾자. 지금의 경우 $z_0$를 대입하면 $C=-3$이고 나머지 두 해에 대해서는 $C =3/2$이다. 방정식 $v(p,q)=C$를 $q$에 대해 풀어보면, $$q = \pm \sqrt{3p^2 \pm \sqrt{8p^4+ 4p + C}}$$ 이고 이 선이 $C$의 값에 따라 $z_0$ 또는 $z_1$ 또는 $z_2$를 지나야 한다. 아래 그림은 $C=-3$일 때이고

이것은 $C=3/2$일 때이다.

경로의 양 끝이 어디를 향해야 하는지 알고 있으므로 그 조건을 만족하는 경로만을 고르면 아래와 같다. 이 경로는 $z_0$와 $z_2$를 지난다.

$z_0$와 $z_2$의 기여분을 비교해보면 ($\Re$는 실수부 의미) $$\frac{\exp\left[x \Re{\phi(z_2)}\right]}{\exp\left[x \Re{\phi(z_0)}\right]} = \exp \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2}x \right)$$ 로서, $z_2$에서 오는 기여분이 지수함수적으로 작다. 따라서 $z_0=1$ 부근만을 살펴보기로 한다.

$z_0=1$ 부근에서 선의 기울기가 1이므로 $z = 1+e^{i\pi/4} u$로 놓는다. 이를 대입하면 $$\phi\left( 1+e^{i\pi/4} u \right) = -3i -6u^2 + 4e^{-i\pi/4} u^3 - iu^4.$$ 그러므로 \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \exp\left[ x\left( -3i -6u^2 + 4e^{-i\pi/4} u^3 - iu^4 \right) \right] e^{i\pi/4} du\\ &=& e^{-3ix + i\pi/4} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \exp\left( -6xu^2 + 4xe^{-i\pi/4} u^3 - ixu^4 \right) du. \end{eqnarray*} $v\equiv u \sqrt{6x}$로 정의하여 변수 $u$를 치환하면, \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& \frac{e^{-3ix + i\pi/4}}{\sqrt{6x}} \int_{-\epsilon \sqrt{6x}}^{\epsilon \sqrt{6x}} \exp\left( -v^2 + \frac{\sqrt{2} e^{-i\pi/4}}{3\sqrt{3}} \frac{v^3}{x^{1/2}} - \frac{i}{36} \frac{v^4}{x} \right) dv. \end{eqnarray*}

$C_1 \equiv \frac{\sqrt{2} e^{-i\pi/4}}{3\sqrt{3}}$과 $C_2 \equiv - \frac{i}{36}$를 정의하고 피적분함수 중 가우스 함수에서 벗어나는 부분을 전개하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \exp\left( C_1 \frac{v^3}{x^{1/2}} + C_2 \frac{v^4}{x} \right) &=& 1 + C_1 \frac{v^3}{x^{1/2}} + \left( C_2v^4 + \frac12 C_1^2 v^6 \right) \frac{1}{x} + \left( C_1 C_2 v^7 + \frac{1}{6} C_1^3 v^9 \right) \frac{1}{x^{3/2}}\\ && + \left( \frac12 C_2^2 v^8 + \frac12 C_1^2 C_2 v^{10} \frac{1}{24} C_1^4 v^{12} \right) \frac{1}{x^2}\\ && + \left( \frac12 C_1 C_2^2 v^{11} + \frac{1}{6} C_1^3 C_2 v^{13} + \frac{1}{120} C_1^5 v^{15} \right) \frac{1}{x^{3/2}} + \ldots. \end{eqnarray*}

이 표현식을 $I(x)$에 대입하고, $v$의 홀수차 항들을 지우자. 적분 구간을 실수 전체로 확장하면 아래의 식을 얻는다: \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& \frac{e^{-3ix + i\pi/4}}{\sqrt{6x}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-v^2} \left[ 1+ \left( C_2 v^4 + \frac12 C_1^2 v^6 \right)\frac{1}{x} + \left( \frac12 C_2^2 v^8 + \frac12 C_1^2 C_2 v^{10} + \frac{1}{24} C_1^4 v^{12} \right) \frac{1}{x^2} \right] dv. \end{eqnarray*}

평균장 이론

무작위장 이징 모형

• Richard Chapling, Summary: The Method of Steepest Descent.