채플링은 다음과 같은 구체적인 예로 설명하고 있다. $x$는 매우 큰 양수이다. $$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x \phi(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ix(t^4-4t)} dt.$$ 따라서 $\phi(z) \equiv iz^4 - 4iz$이고 $z=p+iq$로 실수부와 허수부를 표현하면, $$\phi = u + iv = \left( -4p^3 q + 4pq^3 + 4q \right) + i\left(p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p\right)$$ 로서 $u(p,q) = -4p^3 q + 4pq^3 + 4q$와 $v(p,q) = p^4 + q^4 - 6p^2 q^2 - 4p$이다.

$z=re^{i\theta}$로 적으면 $|z|$이 큰 경우 $\phi \approx iz^4 = r^4 \exp i\left(4\theta + \pi/2\right)$로서, $\theta$가 $(0, \pi/4)$ 또는 $(\pi/2, 3\pi/4)$ 또는 $(\pi, 5\pi/4)$ 또는 $(3\pi/2, 7\pi/4)$에 있을 때 $\phi$의 실수부가 음수가 된다. 원래 실수 축을 따라 놓였던 적분 경로를 무리 없이 변형하기 위해서는, 새로운 경로의 양쪽 끝이 $(0, \pi/4)$와 $(\pi, 5\pi/4)$에 각기 놓여야 그 경로를 따라 멀어져 갈 때에 $u\to-\infty$로서 피적분함수가 0으로 접근할 것이다.

이제 피적분함수가 느리게 변하는 정상(stationary) 점을 찾자. $\phi'(z) = 4i(z^3-1)$이므로 다음처럼 3개의 해가 존재한다: \begin{eqnarray*} z_0 &=& 1\\ z_1 &=& e^{2\pi i/3}\\ z_2 &=& e^{-2\pi i/3}. \end{eqnarray*}

이 점들을 지나면서 피적분함수의 절댓값 크기가 가장 가파르게 변화하는 경로를 찾아야 한다. $\phi(z)$가 해석적인 함수이므로, $\nabla u$를 따라가는 경로는 $\phi$의 허수부인 $v(p,q)$가 상수 $C$가 되는 경로에 해당한다. 또 허수부가 상수이므로 피적분함수가 빠르게 진동할 때 생기는 수렴성의 문제도 피해갈 수 있다. 지금의 경우 $z_0$를 대입하면 $C=-3$이고 나머지 두 해에 대해서는 $C =3/2$이다. 방정식 $v(p,q)=C$를 $q$에 대해 풀어보면, $$q = \pm \sqrt{3p^2 \pm \sqrt{8p^4+ 4p + C}}$$ 이고 이 선이 $C$의 값에 따라 $z_0$ 또는 $z_1$ 또는 $z_2$를 지나야 한다. 아래 그림은 $C=-3$일 때이고

이것은 $C=3/2$일 때이다.

경로의 양 끝이 어디를 향해야 하는지 알고 있으므로 그 조건을 만족하는 경로만을 고르면 아래와 같다. 이 경로는 $z_0=1$과 $z_2=e^{-2\pi i/3}$를 지난다.

$z_0$와 $z_2$의 기여분을 비교해보면 ($\Re$는 실수부 의미) $$\frac{\exp\left[x \Re{\phi(z_2)}\right]}{\exp\left[x \Re{\phi(z_0)}\right]} = \exp \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2}x \right)$$ 로서, $z_2$에서 오는 기여분이 지수함수적으로 작다. 따라서 $z_0=1$ 부근만을 살펴보기로 한다. $z_0$를 지나는 경로 $\gamma$를 실수 변수 $t$의 급수해 $F_n(t) = \sum_{k=0}^n c_k t^k$로 표현해보자. 계수 $c_k$는 복소수이다. 이를 따라갈 때에 $\phi = \phi(z_0) - t^2 + O(t^n)$ 형태가 되게끔 계수들을 결정하려고 한다. $c_0=z_0=1$임은 자명하다. 다음 식을 적고 \begin{eqnarray*} \phi(1+c_1t+\ldots) &=& -3i + 6i c_1^2 t^2 + 4i(c_1^3+3c_2 c_1) t^3 + i(c_1^4 + 12 c_2 c_1^2 + 12 c_3 c_1 + 6 c_2^2) t^4 + \ldots\\ &=& -3i - t^2 \end{eqnarray*} 계수끼리 비교해보면, $6i c_1^2 =-1$에서 $c_1 = e^{i\pi/4}/\sqrt{6}$이고 $c_1^3+3c_2 c_1 = 0$에서 $c_2 = -i/18$이다. 이어 이 값들을 $c_1^4+12c_2 c_1^2+12c_3 c_1 + 6c_2^2 = 0$에 대입하면 $c_3 = -\frac{7}{432\sqrt{3}}(1-i)$이다. 이렇게 근사한 경로는 $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ 영역에서 원래의 $\gamma$를 따라가며($\epsilon$은 적절한 양수), 이를 $\gamma_\epsilon$이라고 부를 것이다.

$$I(x) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{x\phi(t)} dt = \int_\gamma e^{x\phi(z)} dz \approx \int_{\gamma_\epsilon} e^{x\phi(z)} dz = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{x\phi\left[ z(t) \right]} z'(t) dt$$

경로 상에서 $z(t) = 1 + c_1 t+ c_2 t^2 + c_3 t^3 + \ldots$이고 따라서 $z'(t) = c_1 + 2c_2 t + 3c_3 t^2 +\ldots$로 적을 수 있다. 그러면 $u \equiv \sqrt{x}t$로 변수변환할 때 다음처럼 적분을 수행할 수 있다: \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& e^{-3ix} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{-xt^2} \left( c_1 + 2c_2 t + 3c_3 t^2 \right) dt\\ &=& \frac{e^{-3ix}}{\sqrt{x}} \int_{-\sqrt{x}\epsilon}^{\sqrt{x}\epsilon} e^{-u^2} \left( c_1 + 2c_2 \frac{u}{\sqrt{x}} + 3c_3 \frac{u^2}{x} \right) du\\ &\approx& \frac{e^{-3ix}}{\sqrt{x}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} \left( c_1 + 2c_2 \frac{u}{\sqrt{x}} + 3c_3 \frac{u^2}{x} \right) du\\ &=& e^{-3ix + i\pi/4} \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{6x}} \left( 1 + \frac{7i}{144x} \right). \end{eqnarray*}

라플라스의 방법

정지 위상 근사

평균장 이론

무작위장 이징 모형

• Richard Chapling, Summary: The Method of Steepest Descent.