아주 큰 양수 $x$에 대해 다음 적분을 계산하려고 한다: $$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

$f(t)$는 실수 함수이며, 역시 실수 함수인 $\psi(t)$는 한 점 $t=c \in (a,b)$에서 도함수가 0이며 $\psi''(c)\neq 0$이라고 하자. 즉 다음처럼 급수 전개를 적을 수 있다: $$\psi(t) = \psi(c) + \frac{\psi''(c)}{2} (t-c)^2 + \ldots.$$

$\epsilon$이 ($x$에 의존할 수 있는) 적당히 작은 양수라고 하자. 위 적분은 다음처럼 두 부분으로 나누어 적을 수 있다: $$I(x) = \int_a^b f(t) e^{ix\psi(t)} dt = \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt + \int_{(a,b)\backslash (c-\epsilon, c+\epsilon)} f(t) e^{ix\psi(t)} dt.$$

두 번째 적분은 $1/x$로 크기가 줄어듦으로, 앞의 적분만을 살펴보자. 그러면 그 결과는 \begin{eqnarray*} I(x) &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(t) e^{ix\psi(t)} dt\\ &\approx& \int_{c-\epsilon}^{c+\epsilon} f(c) e^{ix\psi(c)} e^{ix\psi''(c)(t-c)^2/2} dt\\ &\approx& f(c) e^{ix\psi(c)} \sqrt{\frac{2\pi}{-ix\psi''(c)}}. \end{eqnarray*}

$r\ge 0$에서 정의된 0차 베셀 함수를 생각하자: $$J_0(r) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{ir \sin t} dt.$$ $r$이 아주 클 때의 거동에 관심이 있다. $\psi(t) = \sin t$로서 두 개의 극점 $t=\pi/2$와 $t=3\pi/2$를 지니는데, 이 둘을 모두 고려해야 한다. $t=\pi/2$에 대해서는 $$\sqrt{\frac{2\pi}{-rx\psi''(c)}} e^{ir\psi(c)}$$

• Richard Chapling, Asymptotic Methods.