$$\delta(t-t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega(t-t')} d\omega$$ 인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한 $$\delta(t'-t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega(t-t')} d\omega$$ 와도 같다. 따라서 우변의 두 표현식을 반반씩 섞어도 $\delta(t-t')$이 된다: \begin{eqnarray*} \delta(t-t') &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\omega(t-t')}+e^{-i\omega(t-t')}}{2} d\omega\\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \cos \omega (t-t') d\omega\\ &=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos \omega (t-t') d\omega. \end{eqnarray*} 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분을 묘사할 때 사용되는 식이다.

2종 요동-흩어지기 정리의 유도와 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분 분석에서처럼 $\delta(t)$를 $0$부터 $\infty$까지 적분해야 할 경우 $\delta(t)$가 짝함수이므로 $$\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$$ 이라고 놓는다.