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수학:디락_델타_함수 [2016/04/06 18:50] – [적분구간이 양수일 때] admin | 수학:디락_델타_함수 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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- | ======디락 델타 함수의 적분 | + | ======적분 표현====== |
+ | $f(x)$의 [[: | ||
+ | $$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$ | ||
+ | $$g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dk$$ | ||
+ | 로부터 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | f(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-iky} dk \right] e^{ikx} dx\\ | ||
+ | &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-y)} dk \right) dy\\ | ||
+ | &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \delta(x-y) dy | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 임을 알 수 있다. 식 (1)에서는 허깨비 변수 $y$를 사용했음에 유의한다. 즉 | ||
+ | $$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk.$$ | ||
+ | |||
+ | =====직접 적분을 통한 유도===== | ||
+ | 위 식을 바로 적분해서 | ||
+ | |||
+ | 작은 양수 $\epsilon$을 집어넣어서 | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty e^{ikx-\epsilon x} dk + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^0 e^{ikx+\epsilon x} dk \right]\\ | ||
+ | &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon+ix} + \frac{1}{\epsilon-ix} \right]\\ | ||
+ | &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 그런데 모든 $x\neq 0$에 대해서 $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)}=0$이고, | ||
+ | $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} dx = 1$$ | ||
+ | 이어서 디락 델타 함수의 성질을 가진다. | ||
+ | |||
+ | ======등식====== | ||
$$\delta(t-t' | $$\delta(t-t' | ||
인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한 | 인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한 | ||
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이라고 놓는다. | 이라고 놓는다. | ||
+ | ======함께 보기====== | ||
+ | [[: | ||