수학:상관함수

상관함수

상관함수를 얻기

임의의 함수 $A(x)$ 가 있을 때 변수 $x \in [a,b]$ 에 대해 $x \rightarrow x+x_\text{corr}$ 을 한 함수 $A(x+x_\text{corr})$ 를

$A(x)$ 에 곱하여 구간에서의 평균을 구하자. 이렇게 얻어진 $x_\text{corr}$ 의 함수를 $G(x_\text{corr})$ 이라고 하고 상관함수라고 부른다.

\begin{equation*} \begin{split} G(x_\text{corr}) &= \frac{\int_{a}^{b} A(x)A(x+x_\text{corr}) dx}{(b-a)}\\ &= \big<A(x)A(x+x_{corr})\big> \end{split} \end{equation*}

간단한 예제: 코사인 함수

$t\in [0,2\pi]$ 에서 함수 $\cos{t}$에 대한 상관함수를 얻어보자.

\begin{equation*} \begin{split} G(t_\text{corr}) &= \frac{\int_{0}^{2\pi} \cos(t) \cos(t+t_\text{corr})dt }{2\pi}\\ &= \frac{1}{2} \cos(t_\text{corr}) \end{split} \end{equation*}

얻어진 $G$ 를 잘 보면 $t_\text{corr}$ 이 $\pi$의 정수배일 때 진폭이 최대 혹은 최소임을 알 수 있다.

이 의미는 주기함수를 $1$주기나 $\frac{1}{2}$주기만큼 옮긴 함수는 한 주기동안의 모양이 같다는 것으로 해석할 수 있다.

자성체의 스핀 밀도에서의 이용

강자성체는 임계온도 이상에서 상자성체가 된다. 그렇다면 임계온도보다 낮은 온도에서 임계온도에 접근할수록 스핀 밀도의 평균인

자화도가 0이 된다. 이때 임계온도 근처에서 스핀 방향이 같은 몇개의 영역이 나타나게 되는데. 이 영역의 상관 길이는 아주 크다.

어떤 기준점 $0$ 으로부터 위치가 $\vec{r}$ 만큼 떨어진 곳의 스핀 밀도를 $\sigma(\vec{r})$ 이라고 부르자.

이때 스핀 밀도의 편차에 대한 상관함수를 $G(0)$ 이라고 하면 상관함수를 아래와 같이 쓸 수 있다.

$$ G(0) = \big<(\sigma(0) - <\sigma>)(\sigma(\vec{r}) - <\sigma>)\big> $$

임계온도로 갈수록 $<\sigma>$ 는 0에 가까워지게 된다. 따라서 위의 $G(0)$ 값은 어떤 기준점으로부터 $\vec{r}$만큼 떨어진 곳을 기준으로 할때의 스핀 분포가 기준점 $0$에서의 분포와 얼마나 비슷한가로 결정된다.

임의의 $\vec{r}$ 에 대해 $G(0)$가 항상 큰 값을 가지게끔 하려면 $|\vec{r}| \rightarrow 0$ 부터 $|\vec{r}| \rightarrow large$ 까지 스핀의 분포가 같아야 한다는 결론이 나오게 된다.

푸리에 변환을 적용하여 위 함수를 파수벡터 공간에 대한 함수로 전개할 때 $\vec{r}$이 발산한다는 것은 $k$가 $0$으로 가야만 값을 준다는 것을 의미한다.

임계온도 근처에서 $G(k=0)$는 발산하는 것 같은 값을 가짐이 중성자 산란 실험에서 알려져 있다. 중성자 산란 실험에서는 스핀을 가지는 입자 사이의 거리가 아닌 운동량 운반자 개념을 사용한다. 이 때 운동량 운반자가 교차영역을 구하는 과정에서 파수벡터같은 역할을 하게 된다.

정상상태에서의 파동함수의 관점에서 생각해보면 장거리에 걸쳐서 그 범위 내의 스핀의 분포가 같게 나타난다면 공간 $x$에 대한 스핀 값 변화에 대한 주기가 아주 길다는 결론을 낼 수 있다.

이때 운동량 공간의 파수벡터는 상대적으로 0에 가까워져야 하고 운동량 운반자를 파수벡터로 설명하는 중성자 산란 실험에서 $G(k = 0)$에서 최대 진폭을 얻는 실험결과에 부합한다.

따라서 장거리에 걸쳐서 스핀 방향이 거의 같은 몇개의 영역이 나타난다는 설명은 설득력이 있다.

참고문헌

  • 수학/상관함수.txt
  • Last modified: 2019/10/20 18:43
  • by bekuho