수학:상관함수의_푸리에_변환

푸리에 변환 규칙

변수 $t$ 와 $\omega$ 에 대해 푸리에 변환을 다음과 같이 정의하자. $$ t \rightarrow \omega, \quad f(\omega) = \int dt f(t)e^{i\omega t} $$

$$ \omega \rightarrow t, \quad f(t) = \frac{1}{2\pi}\int d\omega f(\omega)e^{-i\omega t} $$

상관함수의 푸리에 변환

변수 $t$ 의 함수인 두 성분 $q_{i}(t),q_{j}(t)$ 를 생각해보자. 예를들어 $i=1,j=2$ 라 두고 각각을 속도와 운동량이라고 할 수 있다. 어떤 두 성분의 $t$ 에 대한 상관함수를 다음과 같이 정의하자. $$ C_{ij}(t-t^{\prime}) \equiv \left< q_{i}(t),q_{j}(t^{\prime}) \right>$$ 여기서 $\left< \cdots \right>$ 는 가능한 모든 $q_i,q_j$ 에 대한 평균을 의미한다. 상관함수의 푸리에 변환은 다음과 같이 쓸 수 있다. $$ \int C_{ij}(t-t^{\prime}) e^{i\omega(t-t^{\prime})} dt = C_{ij}(\omega)$$ 이 때 $ \left<q_i(\omega)q_j(\omega^{\prime})\right> $ 에 대한 표현식을 유도할 수 있다.

$$ \left<q_i(\omega)q_j(\omega^{\prime})\right> = \left<\int dt q_i(t)e^{i\omega t} \int dt^{\prime} q_j(t^{\prime})e^{i\omega^{\prime} t^{\prime} } \right> $$

$t$ 와 $t^{\prime}$ 의 적분 순서를 고려하여 고쳐쓰고 $C_{ij}(t-t^{\prime})$ 을 다시 살려서 쓰면 다음과 같은 결과를 얻는다

$$ \left<\int dt \int dt^{\prime} C_{ij}(t-t^{\prime})e^{i\omega t+i\omega^{\prime} t^{\prime} } \right> $$

적분을 수행하기위해 변수치환 $\omega + \omega^{\prime} = \lambda$ 를 이용하고 $C_{ij}(t-t^{\prime})$ 의 푸리에 변환 표현을 쓰면 다음과 같은 등식을 얻는다.

$$\left<q_i(\omega)q_j(\omega^{\prime})\right>=\left<\int dt \int dt^{\prime} C_{ij}(t-t^{\prime})e^{i\omega(t-t^{\prime}) +i\lambda t^{\prime}}\right> $$

$t$ 에 대한 적분을 수행하고 디락 델타 함수의 표현 $\frac{1}{2\pi}\int e^{i\lambda t^{\prime}} dt^{\prime}=\delta(\lambda)$ 을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$$ \left<q_i(\omega)q_j(\omega^{\prime})\right> = 2\pi \delta(\lambda) C_{ij}(\omega) $$

$\lambda = \omega + \omega^{\prime}$ 을 적용하면 최종 결과는 다음과 같다.

$$ \left<q_i(\omega)q_j(\omega^{\prime})\right> = 2\pi \delta(\omega + \omega^{\prime}) C_{ij}(\omega)$$

참고문헌

  • MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.
  • Afken, Weber, and Harris. Mathematical Methods for Physicists a Comprehensive Guide Seventh Edition
  • 수학/상관함수의_푸리에_변환.txt
  • Last modified: 2019/10/20 18:39
  • by bekuho