수학:스털링_근사

개요

계승(factorial) 혹은 그것을 일반화한 감마 함수를 큰 인수에 대해 근사적으로 계산하는 수식.

구분구적법을 이용하는 유도

아래와 같은 식을 생각하자. \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \ln \frac{n!}{n^n} &=& \frac{1}{n} \left( \ln\frac{1}{n} + \ln\frac{2}{n} + \ldots + \ln \frac{n}{n} \right)\\ &\xrightarrow[n\to \infty]{}& \int_0^1 \ln x ~dx = -1 \end{eqnarray*} 따라서, $n! \approx n^n e^{-n}$임을 이해할 수 있다.

라플라스의 방법을 이용하는 유도

라플라스의 방법을 따르기 위해 다음처럼 식을 고쳐 쓴다. \begin{eqnarray*} \Gamma (p+1) &=& \int_0^\infty t^p e^{-t} dt\\ &=& \int_0^\infty e^{p \ln t - t} dt\\ &=& \int_0^\infty e^{-p\left( \frac{t}{p} - \ln t \right)} dt. \end{eqnarray*} 이제 $z \equiv t/p$를 도입해서 다시 쓴다. \begin{eqnarray*} \Gamma (p+1) &=& \int_0^\infty e^{-p\left( z - \ln pz \right)} dz\\ &=& xe^{p\ln p} \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)} dz\\ &=& p^{p+1} \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)} dz \end{eqnarray*} 여기에서 $g(z) \equiv z-\ln z$라고 하면 이 함수는 $(0, \infty)$의 구간 중 $z=1$에서 최소값 $g(1)=1$을 가진다. 도함수는 $g'(1)=0$, $g''(1)=1$이므로 $p \to \infty$의 극한에서 \[ \int_0^\infty e^{-p(z-\ln z)}dz \sim \sqrt{\frac{2\pi}{p}} e^{-p} \] 이고 따라서 \[ \Gamma(p+1) \sim p^{p+1} \sqrt{\frac{2\pi}{p}} e^{-p} = p^p e^{-p} \sqrt{2\pi p}. \]

참고문헌

  • 수학/스털링_근사.txt
  • Last modified: 2020/10/25 00:40
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