합성곱의 미분

함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자: $$h(t) = \frac{d}{dt} (f\ast g)(t)$$ 이것의 라플라스 변환은 아래와 같다: $$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(0)$$ 여기에서 마지막 항은 곧바로 0이 된다. 따라서 $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(s) - f(0)] \tilde{g}(s) - f(0) \tilde{g}(s)$$ 이고 이를 역변환하면 $$h(t) = \dot{f} \ast g + f(0) g(t).$$

칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분 유도에서는 $f(t) = q(t)$, $g(t) = \delta(t)$로 놓음으로써 아래의 식을 얻었다: \begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \left[ \int_0^t 2\eta \delta(t-t') q(t') dt' \right] &=& 2\eta \left[ \dot{q}(t) \ast \delta(t) + q(0) \delta(t) \right]\\ &=& 2\eta \left[ \int_0^t \delta(t-t') \dot{q}(t') dt' + q(0) \delta(t) \right]\\ &=& \eta \dot{q}(t) + 2\eta q(0) \delta(t). \end{eqnarray*} 마지막 줄로 넘어가는 단계에서 디락 델타 함수 $\delta(t)$가 짝함수여서 $\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$ 이라고 놓았다.