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| 수학:합성곱 [2016/04/06 10:24] – admin | 수학:합성곱 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
|---|---|---|---|
| Line 1: | Line 1: | ||
| + | ======합성곱====== | ||
| + | [[수학: | ||
| + | $$f(t) \ast g(t) = \int_0^t f(t-t' | ||
| + | 그러면 $\mathcal{L}[f \ast g] = \mathcal{L}[f] \times \mathcal{L}[g]$가 만족된다. | ||
| + | |||
| ======합성곱의 미분====== | ======합성곱의 미분====== | ||
| 함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자: | 함수 $f(t)$와 $g(t)$를 합성곱한 다음 이를 $t$로 미분한 결과를 $h(t)$라 하자: | ||
| Line 4: | Line 9: | ||
| 이것의 [[수학: | 이것의 [[수학: | ||
| $$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(0)$$ | $$\tilde{h}(s) = \mathcal{L}\left[ \frac{d}{dt} (f\ast g) \right] = s \mathcal{L}[f\ast g] - (f\ast g)(0)$$ | ||
| - | 여기에서 마지막 항은 곧바로 0이 된다. 따라서 | + | 여기에서 마지막 항은 |
| $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(s) - f(0)] \tilde{g}(s) - f(0) \tilde{g}(s)$$ | $$\tilde{h}(s) = s \tilde{f}(s) \tilde{g}(s) = [s\tilde{f}(s) - f(0)] \tilde{g}(s) - f(0) \tilde{g}(s)$$ | ||
| 이고 이를 역변환하면 | 이고 이를 역변환하면 | ||
| Line 15: | Line 20: | ||
| &=& \eta \dot{q}(t) + 2\eta q(0) \delta(t). | &=& \eta \dot{q}(t) + 2\eta q(0) \delta(t). | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| - | 마지막 줄로 넘어가는 단계에서 [[수학: | + | 마지막 줄로 넘어가는 단계에서 [[수학: |
| - | $\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$ | + | |
| - | 이라고 놓았다. | + | |