다중극 전개는 여러개의 전하가 특정 지점까지의 만들어내는 전위를 전개식으로 나타내는 것이다. 홀극, 쌍극자, 사중극자, 팔중극자… 등이 특정 지점에 만드는 전위를 생각해볼 수 있다.

전하가 분포하고 있는 원천에서 $\mathbf{r'}$지점에 미소부피 $d\tau'$가 있다고 하면 전위를 다음과 같이 쓸 수 있다.

\begin{align} V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}d\tau' \end{align}

이 때 $|\vec{r}-\vec{r}'|$는 코사인 법칙을 이용하고, $r'<<r$을 가정하여,

\begin{align} |\vec{r}-\vec{r}'|^2 &= r^2 + r'^2 - 2rr'\cos\alpha \\ &= r^2(1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha) \\ |\vec{r}-\vec{r}'|^{-1} &= \frac{1}{r}(1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha)^{-1/2} \end{align}

따라서 전위는

\begin{align} V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{r}\left[1+(\frac{r'}{r})^2-2(\frac{r'}{r})\cos\alpha\right]^{-1/2}d\tau' \end{align}

으로 바뀌게 된다. 이 때 대괄호항은 르장드르 함수의 생성함수

\begin{align} (1-2hx+h^2)^{-1/2} = \sum_{l=0}^{\infty}h^lP_l(x) \quad (|h|<1) \end{align}

이므로 전위식에 대응하면 다중극 전개의 일반적인 형태가 만들어진다.

\begin{align} V(\vec{r}) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r'})}{r}\sum_{l=0}^{\infty}(\frac{r'}{r})^lP_l(\cos\alpha)d\tau' \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^lP_l(\cos\alpha){\rho(\vec{r'})}d\tau' \end{align}

여기서 르장드르 다항식의 값에 따라, $l=0$에서 홀극, $l=1$에서 쌍극의 전위식이 나타난다.

\begin{align} V_{mono}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r} \qquad V_{dip}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\int{r'}\cos\alpha\rho(\vec{r'})d\tau' \end{align}

구면 좌표계의 모든 성분을 고려한 다중극 전개는 조금 복잡하다. 앞에서 구한 다중극 전개의 전위식의 르장드르 다항식을 $\phi$에 대해서도 생각해야 하기 때문이다. 구면 좌표계에서 아래의 그림과 같이 $\vec{r'}=(r',\theta',\phi')$, $\vec{r}=(r,\theta,\phi)$가 있다고 하자.

앞의 $|\vec{r}-\vec{r}'|$으로 사이의 각도를 고려하듯이, 여기서도 $\vec{r'}$과 $\vec{r}$ 사이의 각도를 구해보도록 하자. 먼저, $\vec{r'}$과 $\vec{r}$의 사잇각 $\alpha$의 코사인 값은

\begin{align} \cos\alpha = \hat{r}\cdot\hat{r}' \end{align}

이고, $\hat{r}$과 $\hat{r}'$은 구면 좌표계에서 직교 좌표계로의 표현으로,

\begin{align} \hat{r} = \left(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta\right) \\ \hat{r}' = \left(\sin\theta'\cos\phi',\sin\theta'\sin\theta',\cos\theta'\right) \end{align}

이므로 두 단위벡터의 내적은,

\begin{align} \hat{r}\cdot\hat{r}' &= \cos\alpha \\ &= \sin\theta\sin\theta'(\cos\phi\cos\phi' + \sin\phi\sin\phi') + \cos\theta\cos\theta' \\ &= \sin\theta\sin\theta'\cos(\phi-\phi') + \cos\theta\cos\theta' \end{align}

구면 조화 함수는 $\theta, \phi$방향을 고려한 함수이다.

\begin{align} Y_l^m(\theta,\phi) = (-1)^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi} \end{align}

여기서 l과 m의 범위는

\begin{align} l=0,1,2,\cdots \qquad -l{\leq}m{\leq}l \end{align}

푸리에 급수의 성질과 같이, 구면 조화 함수도 직교성이 있다. 직교성을 이용하면 르장드르 다항식 앞에 붙는 계수들을 결정할 수 있다.

\begin{align} \iint{Y_l^m(\theta,\phi)}{Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi)}\sin\theta{d\theta}{d\phi} = \delta_{ll'}\delta_{mm'} \end{align}

여기서 나중의 계산을 위하여 입체각(Solid Angle)로 바꾸기로 한다. 즉,

\begin{align} d\Omega = \sin\theta{d\theta}{d\phi} \end{align}

라플라스 방정식 $\nabla^2V=0$에서 $\phi$ 대칭인 해는 다음과 같이 주어졌었다.

\begin{align} V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta) = \sum_{l=0}^{\infty}(A_lr^l + \frac{B_l}{r^{l+1}})P_l(\cos\theta) \end{align}

마찬가지로 $\phi$성분까지 고려하면

\begin{align} V(r,\theta,\phi) = R_{lm}(r)Y_l^m(\theta,\phi) = \sum_{l,m}\left[a_{lm}r^l + b_{lm}r^{-(l+1)}\right]Y_l^m(\theta,\phi) \end{align}

이다. 여기에 라플라시안 연산자를 적용하면

\begin{align} \nabla^2V(r,\theta,\phi) = (\nabla^2R_{lm}(r))Y_l^m(\theta,\phi) + R_{lm}(r)(\nabla^2Y_l^m(\theta,\phi)) = 0 \end{align}

구면조화함수에 대한 관계식을 얻으려고 하면 첫 번째 항의 R을 처리해주어야 한다. 이는 구면좌표계의 라플라스 방정식으로 얻어진다. 변수분리까지 끝낸 식에서 시작하여 R에대해 식을 얻을 수 있다.

\begin{align} &\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) + \frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) -\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\Phi^2} = 0 \\ &\frac{1}{\Phi}\frac{d^2\Phi}{d\Phi^2} = -\frac{\sin^2\theta}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right)-\frac{\sin\theta}{\Theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = -m^2\sin^2\theta \\ &\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) = l(l+1) \\ &\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = l(l+1)R \\ &\nabla^2R_{lm}(r) = \frac{l(l+1)}{r^2} \end{align}

따라서, 식에 대입하고 정리하면 라플라스 급수(Laplace Series)라고 부르는 식이 만들어진다.

\begin{align} \nabla^2Y_l^m = -\frac{l(l+1)}{r^2}Y_l^m \end{align}

이 식의 특징은 좌변과 우변의 계수 l이 같이 연동된다는 것이다. 예를들어, 어떠한 함수 $f(\theta,\phi)$라는 함수가 있다고 하자. 함수 f는 푸리에 급수 전개식과 같이 구면 조화 함수에 대한 전개식으로 나타낸다.

\begin{align} f(\theta,\phi) &= \sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_l^m(\theta,\phi) \\ &= \sum_l'\sum_m'a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) \end{align}

가정한 함수 f는 구면 조화 함수 항이 있으므로 라플라스 급수를 만족한다. 좌변과 우변에 함수 f를 대입해보자. 먼저 우변에 f를 대입하면,

\begin{align} -{r^2}\nabla^2f = l(l+1)\sum_l'\sum_m'a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) \end{align}

그리고 좌변에 f를 대입하면,

\begin{align} -{r^2}\nabla^2f &= l'(l'+1)f \\ &= \sum_l'\sum_m'l'(l'+1)a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) \end{align}

두 식 모두 라플라스 급수를 만족해야 하므로,

\begin{align} \sum_l'\sum_m'[l(l+1)-l'(l'+1)]a_{l'm'}Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) = 0 \end{align}

따라서 $l=l'$또는 $a_{l'm'} = 0$이어야 0이 되므로 라플라스 급수의 좌변과 우변의 l은 같이 연동된다.

그림에 그려진 r'벡터와 r벡터를 생각해보자. 여기서 r'이 3축 중 하나에 만족한다고 하자. 그러면 r'은 고정된 채 앞에서 했던 r벡터만 고려하는 다중극 전개식을 생각하면 된다. 그와 동시에 라플라스 급수를 만족한다. 그러므로, 이 두가지의 특징을 포함하는 'Addition Theorem' 이라는 것을 도입해보자. Addition Theorem의 식은 아래와 같다.

\begin{align} P_l(\cos\alpha) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^* \end{align}

여기서 $\alpha$는 $\vec{r}$과 $\vec{r'}$의 사잇각이며, *는 켤레복소수 표현이다. 이 식을 얻는 과정을 살펴보자. 앞에서 r'을 한 축에 고정을 하였기 때문에 라플라스 방정식을 만족하는 f는 르장드르 급수 형태일 것이고, 앞의 라플라스 급수의 함수 형태로 나타난다. 따라서 f는

\begin{align} f = P_l(\cos\alpha) = \sum_{m=-l}^{l}b_m(\theta',\phi')Y_l^m(\theta,\phi) \end{align}

계수 $b_m$또한 라플라스 방정식을 만족하므로,

\begin{align} f &= \sum_{m=-l}^{l}\sum_{m'=-l}^{l}b_{mm'}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')Y_l^m(\theta,\phi) \\ &= \sum_m{b_{m,-m}}Y_l^{-m}({\theta}',{\phi}')Y_l^m(\theta,\phi) \end{align}

여기서 구면 조화 함수의 직교성을 생각하여, $m=-m'$으로 두었다. 이에 따라서 나타나는 성질

\begin{align} Y_l^{-m}(\theta,\phi) = (-1)^m\left[Y_l^{m}(\theta,\phi)\right]^* \end{align}

으로 인해 f는

\begin{align} f &= \sum_m{b_{m,-m}}(-1)^m\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*Y_l^m(\theta,\phi) \\ &= \sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^* \end{align}

이 식을 이용하여 몇 가지 얻어볼 수 있다. 먼저, $\vec{r} = \vec{r}'$이면 $\cos\alpha = 1$이므로 f는

\begin{align} f = P_l(1) = 1 = \sum_mC_m|{Y_l^m}|^2 \rightarrow \sum_m{C_m} = 4\pi \end{align}

으로 입체각을 얻는다. 또는 직교성을 이용해서, $f^2$을 구해보면,

\begin{align} f^2 = |P_l(\cos\alpha)|^2 = \left[\sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^*\right]\left[\sum_{m'}{C_{m'}}Y_l^{m'}({\theta}',{\phi}')\left[Y_l^{m'}(\theta,\phi)\right]^*\right] \end{align}

이를 입체각으로, $(\theta,\phi)$와 $({\theta}',{\phi}')$으로 적분하면

\begin{align} \frac{4\pi}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2|Y_l^m(\theta',\phi')|^2 \qquad (\theta,\phi)\\ \frac{(4\pi)^2}{2l+1} &= \sum_m{C_m}^2 \qquad ({\theta}',{\phi}') \end{align}

이다. 두 값중에 어떤 값이 ${C_m}$인가? 여기서 슈바르츠 부등식을 이용하자.

\begin{align} |\vec{A}\cdot\vec{B}|^2 &\leq |\vec{A}|^2|\vec{B}|^2 \\ |\sum_k^n{a_k}{b_k}|^2 &\leq \sum_k^n{a_k}^2\sum_k^n{b_k}^2 \end{align}

이 때 $b_k = 1$이면,

\begin{align} |\sum_k^n{a_k}|^2 &\leq n\sum_k^n{a_k}^2 \end{align}

이고 앞의 계수 $C_m$과 비교하면

\begin{align} |\sum_m^n{C_m}|^2 &\leq (2l+1)\sum_m^n{C_m}^2 \end{align}

그러므로 $C_m = 4\pi/2l+1$이고 $P_l(\cos\alpha)$이 다음과 같이 결정되어 Addition Theorem을 얻는다.

\begin{align} f = P_l(\cos\alpha) &= \sum_m{C_m}Y_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^{m}({\theta}',{\phi}')\right]^* \\ &= \frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^* \end{align}

이제 앞에서 구한 르장드르 다항식과 구면 조화 함수의 관계식을 대입하자.

\begin{align} V(\vec{r}) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^lP_l(\cos\alpha){\rho(\vec{r'})}d\tau' \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{r^{l+1}}\int({r'})^l\frac{4\pi}{2l+1}\sum_{m=-l}^lY_l^m(\theta,\phi)\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau' \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^l\frac{4\pi}{2l+1}\frac{Y_l^m(\theta,\phi)}{r^{l+1}}\int({r'})^l\left[Y_l^m(\theta',\phi')\right]^*{\rho(\vec{r'})}d\tau' \end{align}

이것이 3차원에서의 다중극 전개식이 된다.