개요
어떤 성씨를 가진 남성이 $i$명의 자식을 가질 확률 $p_{i}$를 도입하여 성씨의 소멸에 대한 연구로 출발하였다.
규칙
성씨를 구성하는 개인의 수가 다음과 같은 규칙을 따른다고 가정하자.
- 모든 세대 $n = 0, 1, 2,...$에서 각 개인이 자식을 가질 수는 무작위적이며 개인들 사이에서는 독립적이다.
- 자식을 낳을 확률 질량 함수를 자식 분포라고 부르며 다음과 같이 나타낼 수 있다. $p_{i} = $ $P$(자식의 수 $= i$), $i$ $=$ $0, 1, 2, ...$
- 단순한 경우를 제외하기 위해 $p_{0} < 1, p_{1} < 1$이라고 가정하자. 한 명으로 구성된 시작 세대를 $0$세대라고 하고 성씨의 가지치기 과정을 진행했을 때, 이 과정이 유한한 경우를 성씨의 '소멸'이라 하고 무한한 경우 '생존'이라 부른다.
위와 같은 가정을 도입하고 $n$세대에서의 인구수를 $X_{n}$으로 나타낸다면 가지치기 과정은 마르코프 연쇄로 볼 수 있으며 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
- $X_n = 0$인 경우, $n$세대에 계속 머무르게 되어 $0$은 흡수상태이다.
생성함수로의 표현
자식 분포의 모멘트 생성함수를 $\phi$라고 하자. 편리함을 위해 모멘트 생성함수 정의식에서의 $e^t$를 $s$로 바꿔 표현하면
\begin{eqnarray}
\phi(s) = \phi_{X_{1}}(s) = E(s^{X_1}) = \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} s^k
\end{eqnarray}
가 된다. 이 식은 수열 $p_{k}$의 생성함수 표현과 정확히 일치한다. $X_{n}$의 모멘트 생성함수는
\begin{eqnarray*} \phi_{X_{n}} = E[s^{X_{n}}] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X_{n} = k) s^{k} \end{eqnarray*}
로 나타낼 수 있다.
조건부 기댓값의 계산법을 이용하여 계산해보면 \begin{eqnarray*} \phi_{X_{n}} &=& E[s^{X_{n}}] \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{X_{n}} | X_{n-1} = k] P(X_{n-1} = k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} E[s^{W_{1}+W_{2}+...+W_{k}}] P(X_{n-1} = k)\\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} E(s^{W_{1}}) E(s^{W_{1}}) \ldots E(s^{W_{k}}) P(X_{n-1} = k)\\ &=& \sum_{k=0}^{\infty} \phi(s)^{k} P(X_{n-1} = k) \\ &=& \phi_{X_{n-1}}(\phi(s)) \end{eqnarray*}
가 되어 재귀함수의 형태를 얻을 수 있다.
푸아송 분포
자식의 수가 푸아송 분포를 따르는 경우 $p_{k}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}$가 되고 이것을 식 (1)에 대입하여 풀어보면
\begin{eqnarray*} \phi(s) &=& \sum_{k} p_{k}s^{k}\\ &=& \sum_{k} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda} s^{k} \\ &=& e^{\lambda s}e^{-\lambda} \\ &=& e^{\lambda(s-1)} \end{eqnarray*}
여기서 $\lambda$는 자식 수의 평균을 의미한다.