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--- 진화생물학:한곳_짝짓기_경쟁 [2021/07/30 15:22] – [검증] jiwon
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 $$
-이 때 전체 쌍의 수를 $N_{tot} = N_{RRXR}+N_{RRXS}+N_{RSXR}+N_{RSXS}+N_{SSXR}+N_{SSXS}$ 이라고 한다면 자녀 세대에서 특정 두 쌍이 존재할 확률을 다음과 같이 계산할 수 있다.
+이 때 전체 쌍의 수를 $N_{tot} = N_{RRXR}+N_{RRXS}+N_{RSXR}+N_{RSXS}+N_{SSXR}+N_{SSXS}$ 이라고 하고 각 쌍의 비율을
+$$P_{RRXR} = \frac{N_{RRXR}}{N_{tot}},\enspace P_{RRXS} = \frac{N_{RRXS}}{N_{tot}},\enspace P_{RSXR} = \frac{N_{RSXR}}{N_{tot}},\enspace
+P_{RSXS} = \frac{N_{RSXS}}{N_{tot}},\enspace P_{SSXR} = \frac{N_{SSXR}}{N_{tot}},\enspace P_{SSXS} = \frac{N_{SSXS}}{N_{tot}}$$
+이라고 한다면 자녀 세대에서 특정 두 쌍이 존재할 확률을 다음과 같이 계산할 수 있다.
 $$
-x'_{1} = \frac{(N_{RRXR})^2}{(N_{tot})^2},\quad x'_{2} = 2\frac{N_{RRXS}N_{RRXR}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{3} = 2\frac{N_{RSXR}N_{RRXR}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{4} = 2\frac{N_{RSXS}N_{RRXR}}{(N_{tot})^2}\\
+x'_{1} = P_{RRXR}\times P_{RRXR},\quad x'_{2} = P_{RRXS}\times P_{RRXR},\quad x'_{3} = P_{RSXR}\times P_{RRXR},\quad x'_{4} = P_{RSXS}\times P_{RRXR}\\
-x'_{5} = 2\frac{N_{SSXR}N_{RRXR}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{6} = 2\frac{N_{RSXR}N_{RRXS}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{7} = \frac{(N_{RRXS})^2}{(N_{tot})^2},\quad x'_{8} = \frac{(N_{RSXR})^2}{(N_{tot})^2}\\
+x'_{5} = P_{SSXR}\times P_{RRXR},\quad x'_{6} = P_{RSXR}\times P_{RRXS},\quad x'_{7} = P_{RRXS}\times P_{RRXS},\quad x'_{8} = P_{RSXR}\times P_{RSXR}\\
-x'_{9} = 2\frac{N_{SSXS}N_{RRXR}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{10} = 2\frac{N_{RSXS}N_{RRXS}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{11} = 2\frac{N_{SSXR}N_{RRXS}}{(N_{tot})^2},\quad x'_{12} = 2\frac{N_{RSXS}N_{RSXR}}{(N_{tot})^2}\\$$
+x'_{9} = P_{SSXS}\times P_{RRXR},\quad x'_{10} = P_{RSXS}\times P_{RRXS},\quad x'_{11} = P_{SSXR}\times P_{RRXS},\quad x'_{12} = P_{RSXS}\times P_{RSXR}\\
+x'_{13} = P_{SSXR}\times P_{RSXR},\quad x'_{14} = P_{SSXS}\times P_{RRXS},\quad x'_{15} = P_{SSXS}\times P_{RSXR},\quad x'_{16} = P_{RSXS}\times P_{RSXS}\\
+x'_{17} = P_{SSXR}\times P_{RSXS},\quad x'_{18} = P_{SSXR}\times P_{SSXR},\quad x'_{19} = P_{SSXS}\times P_{RSXS},\quad x'_{20} = P_{SSXS}\times P_{SSXR}\\
+x'_{21} = P_{SSXS}\times P_{SSXS}
+$$
+이로써 자녀 세대의 쌍의 비율 ${x'}$를 부모 세대의 쌍의 비율 ${x}$들로 표현해내었다.
+지금 우리는 돌연변이가 희귀한 경우에 대해 관심이 있기 때문에 $x_1$을 제외한 나머지 $x_i$들이 매우 작다고 가정하고 다음과 같이 ${x'}$를 $x_i$에 대해 전개할 것이다.
+$$
+\begin{cases}
+x'_1 = f_1(x_1,...,x_{21}) \approx \left.\frac{\partial f_{1}}{\partial x_1}\right\vert_{(1,0,...,0)} (x_1 - 1) + \cdots + \left.\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{21}}\right\vert_{(1,0,...,0)} x_{21}\\
+x'_2 = f_2(x_1,...,x_{21}) \approx \left.\frac{\partial f_{2}}{\partial x_1}\right\vert_{(1,0,...,0)} (x_1 - 1) + \cdots + \left.\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{21}}\right\vert_{(1,0,...,0)} x_{21}\\
+\qquad\qquad\cdot\\
+\qquad\qquad\cdot\\
+\qquad\qquad\cdot\\
+x'_{21} = f_{21}(x_1,...,x_{21}) \approx \left.\frac{\partial f_{21}}{\partial x_1}\right\vert_{(1,0,...,0)} (x_1 - 1) + \cdots + \left.\frac{\partial f_{21}}{\partial x_{21}}\right\vert_{(1,0,...,0)} x_{21}\\
+\end{cases}
+$$
+이제 이 20x20 행렬의 가장 큰 고윳값을 $r$과 $s$에 따라 그리고, 고윳값이 1보다 작은 영역을 보면 다음을 얻는다.
+{{ :진화생물학:out.png?600 |}}
+이로써 $N=2$일 때 평형 성비는 $r=0.214$가 됨을 알 수 있다.
+그리고 한 쌍이 $(RRXR)$이라고 가정하고 $x'_2,x'_3,x'_4,x'_5,x'_9$를 가지고 5x5 행렬을 써보면 이 행렬이 윗 절의
+$$
+\begin{pmatrix}
+pu & 0 & \frac{1}{4N} & 0 & 0\\
+(1-p)u & 0 & \frac{2N-1}{4N} & 0 & 0\\
+& pu & \frac{1}{4N} & \frac{1}{4N} & 0\\
+& (1-p)u & \frac{2N-1}{4N} & \frac{2N-1}{4N} & 1\\
+(N-1)p & (N-1)p & \frac{N-1}{2N} & \frac{2N-1}{4N} & 0
+\end{pmatrix}
+$$
+와 같음을 확인할 수 있다.
 ======참고문헌======
   * W. D. Hamilton, //Extraordinary Sex Ratios//, Science **156**, 477--488 (1967).
   * P. D. Taylor and M. G. Bulmer, //Local Mate Competition and the Sex Ratio//, J. Theor. Biol. **86** 409--419 (1980).