ma_dasgupta_hu_재규격화

1차원 무작위 가로장 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다. $$H_{1D} = -\sum_{i}J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z - \sum_ig_i\sigma_i^x$$ 여기서 결합상수 $J_{i,i+1}$와 가로장의 세기 $g_i$는 각각의 분포함수로부터 무작위로 결정된다.

Ma,Dasgupta,Hu가 제시한 재규격화군 변환은 시스템에서 가장 큰 에너지를 갖는 결합상수($J_{i,i+1}$ 혹은 $g_i$)를 찾은 다음 이를 제거해가면서 계의 유효 해밀토니안을 얻는 방법이다. 먼저 계에서 가장 큰 결합상수를 $$\Omega = \max\{J_{i,i+1},g_i\}$$ 로 정의하자. 만일 $\Omega = g_i$(즉, $i$번째 스핀에 작용하는 가로장의 세기가 가장 큰 경우)라면, $i$번째 스핀의 바닥상태는 $\vert+\rangle_i=\left(\vert\uparrow\rangle_i+\vert\downarrow\rangle_i\right)/2$가 될 것이고 스핀 $i$가 관여하는 다른 항들의 기여는 스핀 $i$에 대한 섭동으로 생각할 수 있을 것이다.

다시 말하면, 전체 해밀토니안에서 스핀 $i$가 기여하는 부분은 $$H = -J_{i-1,i}\sigma_{i-1}^z\sigma_i^z-J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z-g_i\sigma_i^x$$ 이고, $g_i$가 가장 크므로 $H$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac1{g_i}H = \sigma_i^x+\frac1{g_i}(-J_{i-1,i}\sigma_{i-1}^z\sigma_i^z-J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) = H_0 + \frac1{g_i}V$$ 기저 상태 $\vert+\rangle_i$에 대해 $V$를 2차항까지 섭동전개하면 \begin{align*} \frac1{g_i}E_g' &= -1+\frac1{g_i}{}_i\langle+\vert V\vert+\rangle_i+\frac1{g_i^2}\frac{\vert{}_i\langle-\vert V\vert+\rangle_i\vert^2}{2}+\mathcal O(g_i^{-3})\\ &= -1 + \frac{J_{i-1,i}^2+J_{i,i+1}^2}{2g_i^2}+\frac{J_{i-1,i}J_{i,i+1}}{g_i^2}\sigma_{i-1}^z\sigma_{i+1}^z \end{align*} 가 된다. 이는 스핀 $i$를 없앤 다음 스핀 $i-1$과 $i+1$을 새로운 결합상수 $J_{i-1,i}J_{i,i+1}/g_i$로 이어주었음을 의미한다. 그리고 $g_i>J_{i-1,i}, J_{i,i+1}$이므로 새로운 결합상수는 항상 $g_i$보다 작게 된다.

만일 $\Omega=J_{i,i+1}$라면 스핀 $i$와 $i+1$가 연관된 기저상태는 $\vert+\rangle_i\vert+\rangle_{i+1}$, $\vert-\rangle_i\vert-\rangle_{i+1}$ 두가지로 존재하고 위와 똑같은 과정을 거치면 이 두 스핀이 새로운 가로장 세기 $g_ig_{i+1}/J_{i,i+1}$를 가지는 하나의 스핀으로 대체된다는 것을 알 수 있다. 이 단계를 계속 반복하다 보면 적당한 $\Omega$를 가지는 유효 해밀토니안을 얻어낼 수 있다.

위 과정을 거치면 결합상수와 가로장의 세기가 변화하므로 초기의 확률분포와 재규격화군 변환을 거친 후의 확률분포가 달라진다. 여기서는 위 규칙을 적용했을 때 결합상수와 가로장 세기의 확률분포가 어떻게 변화하는지 보고자 한다. 편의를 위해 \begin{align*} \Gamma&=\ln(\Omega_I/\Omega)\ge0\\ \zeta&=\ln(\Omega/J)\ge0\\ \beta&=\ln(\beta/g)\ge0 \end{align*} 를 정의하자. 여기서 $\Omega_i$는 초기 상태의 $\Omega$를 의미한다. 그리고 결합상수의 분포를 $P(\zeta;\Gamma)$, 가로장 세기의 분포를 $R(\beta;\Gamma)$로 쓰자.

1. Sachdev, S. (2011). Quantum Phase Transitions (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511973765
2. S.K. Ma, C. Dasgupta and C.-K. Hu, Random Antiferromagnetic Chain, Phys. Rev. Lett. 43, 1434 (1979)
3. Chandan Dasgupta and Shang-keng Ma, Low-temperature properties of the random Heisenberg antiferromagnetic chain, Phys. Rev. B 22, 1305, (1980)

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  • by jiwon