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--- 물리:양자기체의_밀도행렬 [2021/03/12 15:13] – yong
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-To be added... (~03.14)
 ====== 개요 ======
-이상적인 양자 기체들이 다음과 같은 방정식을 만족한다.
+이상적인 양자 기체들은 다음과 같은 방정식을 만족한다.
 \begin{align}
     -\partial\rho / \partial\beta = H\rho
 \end{align}
-이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 밀도행렬을 분배함수의 $\beta$의 함수로 간주하자.
+이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 양자역학에서 밀도행렬을 통계학적 형태로 기술하면
 \begin{align}
-    \rho(\beta) = e^{-\beta H} / \text{Tr}e^{-\beta H}
+    \rho(\beta) = \frac{e^{-\beta H_i}}{\sum_i e^{-\beta H_i}}
+    = \frac{e^{-\beta H}}{\text{Tr}\left[ e^{-\beta H} \right]}
 \end{align}
 이 때 분자는 규격화되지 않은(unnormalized) $\rho$ 이며 다음과 같이 정의한다.
 \begin{align}
@@ Line 67: / Line 68: @@
 \end{align}
 으로 나타낼 수 있다. 다음으로 순열군에 대한 길이, 그리고 그 길이에 대한 개수를 세어볼 수 있다. 이를테면
-지금과 같은 상황에서는, (1,2,4)(3) 으로 묶이는 데, 이 경우에는 길이가 1인 순열이 1개 사이클, 길이가
+지금과 같은 상황에서는, (1,2,4)(3) 으로 묶이는 데, 이 경우에는 길이가 1인 사이클 1개, 길이가
-인 순열이 1개 사이클이 있다. 이를 일반화하면, N 개의 모든 경우가 있을 때, 길이가 $\nu$ 인 순열
+인 사이클이 1개 있다. 이를 일반화하면, N 개의 모든 경우가 있을 때, 길이가 $\nu$ 인 사이클의 개수
-의 개수 $C_\nu$ 를 생각할 수 있다. 그리고 $\sum_\nu \nu C_\nu = N$ 를 만족한다.
+$C_\nu$ 를 생각할 수 있다. 그리고 $\sum_\nu \nu C_\nu = N$ 를 만족한다.
 ====== 보즈 입자에 대한 분배함수 ======
@@ Line 166: / Line 167: @@
     e^{-\beta F_S} = \frac{1}{N!}\sum_P\left( \prod_\nu \left(h_\nu\right)^{C_\nu} \right)
 \end{align}
+이제 $\sum_P$ 를 생각해보도록 하자. 모든 가능한 순열들의 수를 $M(C_1, \cdots, C_q)$ 으로 표현하도록 하자.
+예를 들어 순열군 항목에서 예시로 든, $N=4, C_1 = 1, C_3 = 1, C_2 = C_4 = 0$ 인 순열
+\begin{align}
+    \begin{pmatrix}
+& 2 & 4 & 3 \\
+        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+& 4 & 1 & 3
+    \end{pmatrix}
+\end{align}
+의 경우에는 1열을 기준으로 $(1,2,4)(3)$ 이라는 수열로 위와 같은 순열을 만들 수 있다. 하지만 다르게 생각하면,
+$(2,4,1)(3)$ 과 같은 수열도 동일한 순열을 만들 수 있고, $(4,1,2)(3)$과 같은 경우에도 동일한 순열을
+만들 수 있다. 이번에는 여기서 길이가 1인 순열, 즉 $(\cdots \rightarrow 5 \rightarrow \cdots)$ 가 추가되어
+\begin{align}
+    \begin{pmatrix}
+& 2 & 4 & 3 & 5\\
+        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
+& 4 & 1 & 3 & 5
+    \end{pmatrix}
+\end{align}
+이라는 순열군을 생각해보자. 마찬가지로 이 경우에는 $(1,2,4)(3)(5)$ 이라는 수열과, 앞의 방법대로 길이가 3인
+수열의 순서만을 동일하게 하여 같은 순열을 만들 수 있다. 하지만 여기에 추가하여, 인접한 사이클의 길이가 같은 것을 바꾸는, 이를테면
+$(1,2,4)(5)(3)$ 도 동일한 수열을 만들 수 있다. 왜냐하면 우리는 서로 상호작용하지 않는, 구분불가능한 보즈 입자의 경우를 생각하기 때문이다.
+지금의 경우에서 모든 가능한 수열의 수를 계산하면, $3 \times 2! = 6$ 이 된다.
+일반화를 위해 정리하면,
+  - 같은 길이를 가진 사이클끼리는 서로 바꿀 수 있다.
+  - 주어진 사이클 안에서는 순환되는 순열을 만들 수 있다.
+첫 번째 경우에는 $\prod_\nu C_\nu!$ 만큼의 방법을 생각할 수 있을 것이고, 두 번째 경우에는
+$\prod_\nu \nu^{C_\nu}$ 이 될 것이다. 아무런 조건 없이 만들 수 있는 수열의 수는 N!이므로
+M은
+\begin{align}
+    M(C_1, \cdots, C_q) = \frac{N!}{\prod_\nu C_\nu! \nu^{C_\nu}}
+\end{align}
+이고 분배함수에 대응하면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F_S} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}}
+\end{align}
+===== 큰 바른틀 모둠에 대응 =====
+얻어낸 분배함수를 직접 계산하는 것은 약간 복잡해보인다. 따라서 우리는 N을 변수로 바꿔서
+큰 바른틀 모둠 (grand canonical ensemble) 에서의 자유에너지를 찾을 것이다. 큰 바른틀 모둠에서
+분배함수는
+\begin{align}
+    \mathcal{Z}\left(\mu, V, T\right) = e^{-\beta F}
+    = \sum_{N=1}^\infty \exp{\left(\frac{N\mu - F_N}{k_BT}\right)}
+    = \sum_{N=1}^\infty e^{-\beta F_N} e^{+N\mu\beta}
+\end{align}
+이다. 이 때 큰분배함수의 퓨가시티 (fugacity) $\alpha = e^{+\mu\beta}$ 으로 두고, $e^{-\beta F_s}$ 를 분배함수의 $e^{-\beta F_N}$ 에 대입하면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} \alpha^{\nu C_\nu}
+\end{align}
+이고, 사이클의 수 $C_q$ 가 0부터 무한대까지 진행할 것이다. (즉, $C_1$ 가 0부터 $\infty$, $C_2$ 가 0부터 $\infty$, ...
+그리고 $C_q$ 가 0부터 $\infty$ 까지 더해진다.) 그러므로 합기호와 곱기호의 계산순서를 바꿀 수 있고 분배함수가
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} &= \prod_\nu \sum_{C_\nu}^{\infty}\frac{1}{C_\nu!}\left[h_\nu \alpha^{\nu}/ \nu\right]^{C_\nu} \\
+    &= \prod_\nu \exp \left( h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right) \\
+    &= \exp \left( \sum_\nu^\infty h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right)
+\end{align}
+으로 결정된다. 이제 양변에 로그를 취해서 자유에너지에 대한 항을 계산하면
+\begin{align}
+    \beta F = - \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{h_\nu \alpha^\nu}{\nu}
+    = -\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3/2}V \sum_\nu \frac{\alpha^\nu}{\nu^{5/2}}
+\end{align}
+으로 얻어진다.
+====== 페르미 입자에 대한 분배함수 ======
+===== 서로 상호작용하여 구분되는 경우 =====
+이번에는 페르미 디락 통계를 따르는 입자에 대해서 생각해보자. 입자가 페르미 통계를 따르는 경우,
+반대칭적이라는 특징을 가지고 있다. 이것에 대한 분배함수를 구축하기 위해서, 밀도행렬을 먼저 구해야 한다.
+반대칭적인 밀도행렬을 구하기 위해서는 앞에서 구성한 $\rho_D$ 를 반대칭성만을 고려하여
+$\rho_A$ 를 계산한다. $\rho_A$ 는 다음과 같이 계산된다.
+\begin{align}
+    \rho_A \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; x^{\prime}_1, \cdots, x^{\prime}_k, \cdots, x^{\prime}_N \right) \\
+    = \frac{1}{N!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; Px^{\prime}_1, \cdots, Px^{\prime}_k, \cdots, Px^{\prime}_N \right)
+\end{align}
+$\rho_S$ 와 비교하면 $\left(-1\right)^P$ 이라는 항이 추가되었다. 이 때 $\left(-1\right)^P$는
+순열의 홀짝에 따라 값이 변하며,
+\begin{align}
+    \left(-1\right)^P
+    \begin{cases}
+\quad &\text{짝수 순열} \\
+        -1 \quad &\text{홀수 순열}
+    \end{cases}
+\end{align}
+이렇게 되는 이유를 N=2와 N=3인 경우를 살펴보도록 하자.
+==== Example: N=2인 경우 ====
+앞에서 N=2 일 때 셀 수 있는 모든 경우에, 평균을 취한 것에서
+\begin{align}
+    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) +
+     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right]
+    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right)
+    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right]
+\end{align}
+이 때 $\psi^{*}$ 가 반대칭성을 만족하는 경우는
+\begin{align}
+    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right]
+    = 0
+\end{align}
+다시말해
+\begin{align}
+    \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)
+    = - \psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right)
+\end{align}
+이며 따라서 식은
+\begin{align}
+    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) +
+     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right]
+    = 0
+\end{align}
+으로 정리가 되고 좌변을 만족하기 위해
+\begin{align}
+    \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) =
+    - \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)
+\end{align}
+이 되어야 하며, 처음에 나타냈던 식으로는
+\begin{align}
+    \rho_A \left( x_1, x_2; x^{\prime}_1, x^{\prime}_2 \right)
+    &= \frac{1}{2!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, x_2; Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2 \right) \\
+    &= \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right)
+    + \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right]
+\end{align}
+==== Example: N=3 인 경우 ====
+개의 경우도 생각해보자. 즉
+\begin{align}
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right)
+    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_{i}\left(x_1, x_2, x_3\right)
+    \psi_{i}^{*}\left( Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2, Px^{\prime}_3 \right)
+\end{align}
+이 경우에는 가능한 다른 모든 경우는,
+\begin{align}
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right) \quad
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right) \quad
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) \\
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right) \quad
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) \quad
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right)
+\end{align}
+이며 우변의 $\psi_{i}^{*}$ 도 6가지 경우가 있다.
+\begin{align}
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3 \right) \quad
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1 \right) \quad
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2 \right) \\
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2 \right) \quad
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1 \right) \quad
+    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3 \right)
+\end{align}
+앞에서 N=2 인 경우에서와 마찬가지로 반대칭의 특징에 따라 모두 더하면 0이 된다. 따라서 좌변만 남게되며
+식을 정리하면
+\begin{align}
+    &\frac{1}{6} [
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right)
+    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right)
+    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) \\
+    &+ \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right)
+    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)
+    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right)
+    ] = 0
+\end{align}
+이다. 이 경우에는
+\begin{align}
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right)
+    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right) \\
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right)
+    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right) \\
+    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right)
+    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)
+\end{align}
+가 되어야 식이 만족된다. 마찬가지로 3개의 경우도 식으로 나타내면
+\begin{align}
+    \rho_A \left( x_1, x_2, x_3; x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3 \right)
+    = \frac{1}{3!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, x_2, x_3; Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2,
+    Px^{\prime}_3 \right)
+\end{align}
+따라서 일반적인 경우에는 처음에 나타낸 것과 같이 쓸 수 있게 된다. 그리고 만약 N 개의 경우 모든 항을 살펴보자 하는 경우,
+[[수학:슬레이터 행렬식]] 으로 일반화해서 나타낼 수 있다.
+===== 이후 계산들 =====
+이후 계산은 보즈 기체에서 보였던 계산과 유사하다. 먼저 적분항에 대한 계산을 해주면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F_A} = \frac{1}{N!}\sum_P \left(-1\right)^P \left( \prod_\nu \left(h_\nu\right)^{C_\nu} \right)
+\end{align}
+으로 식을 나타낼 수 있다. 이제 생각해야 할 것은 페르미 기체에서 $\sum_P$ 이다. 여기서는 추가적으로
+$\left(-1\right)^P$ 이라는 항이 들어갔기 때문에, 이것을 어떻게 바꿀 지 생각해보도록 하자. 먼저
+앞의 N=3 예시에서, 6가지의 항을 사이클의 길이에 맞춰서 표를 만들면 다음과 같다.
+| $Px_1, Px_2, Px_3$	| Cycles  	| $\rho_A$와 같은 경우  	| 부호 결정  	|
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | (1)(2)(3) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | + |
+| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | (1)(32) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | - |
+| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | (21)(3) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | - |
+| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | (231) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | + |
+| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | (13)(2) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | - |
+| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | (312) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | + |
+예를들어 $Px_1, Px_2, Px_3$가 각각 $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$, $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$
+와 같은 상황에서, 두 경우는 서로 반대칭 관계를 만족하므로 더하면 0이 되어야 한다. 그리고 사이클의 관점에서 바라볼 때,
+첫 번째 경우,
+\begin{align}
+    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow \cdots \right)
+\end{align}
+의 사이클이고, 두 번째 경우,
+\begin{align}
+    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right)
+\end{align}
+의 사이클을 형성하고 있다. 정리되는 뒷항과 같이 무한곱 표현으로 나타내고, 반대칭성을 만족하기 위해서는
+다음과 같이 조건을 만족하면 된다. 먼저, 사이클의 길이가 홀수인 경우에는, 양의 부호 $(+)$ 를 가져야 하며,
+짝수인 경우에는, 음의 부호 $(-)$ 를 가지면 된다. 예시로 들었던 경우에 대해서는
+\begin{align}
+    &C_1C_1C_1 \rightarrow (+)(+)(+) \rightarrow (+) \\
+    &C_1C_2 \rightarrow (+)(-) \rightarrow (-)
+\end{align}
+이렇게 부호가 결정이 된다. N=3 에 대해 정리한 표가 위와 같으며, 이를 사이클의 길이가 $C_q$ 까지 나타나는
+N의 경우에 대해
+\begin{align}
+    \prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}
+\end{align}
+을 만족하면 된다. 이 때 대괄호 지수 항으로 $C_\nu$ 가 붙는 것은, 예를 들어 형성되는 사이클의 블럭이
+$C_1C_2C_2$ 이면, 부호가 $(+)$ 를 만족해야 하기 때문이다. 따라서 반대칭성을 만족하는 경우의 분배함수는
+\begin{align}
+    e^{-\beta F_A} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}
+    \frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}}
+\end{align}
+으로 결정이 된다. 보즈 기체와 마찬가지로 직접 계산하는 것은 복잡하기에 이를 큰 바른틀 모둠에서의
+분배함수에 대응하여 나타내면,
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} \alpha^{\nu C_\nu}
+\end{align}
+이고 마찬가지로 합기호와 곱기호를 서로 바꾸면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} &= \prod_\nu\sum_{C_\nu}^{\infty} \frac{1}{C_\nu!}
+    \left[ (-1)^{\nu+1} \frac{h_\nu \alpha^{\nu}}{\nu} \right]^{C_\nu}
+\end{align}
+이 때 $C_\nu$ 가 짝수인 경우,
+\begin{align}
+    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu+1} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right)
+\end{align}
+$C_\nu$ 가 홀수인 경우,
+\begin{align}
+    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right)
+\end{align}
+으로 결정된다.
 ====== 참고문헌 ======
   * Richard P. Feynman, //Statistical Mechanics: A set of lectures// (CRC Press, 1998).
+  * Wikipedia (en) //Antisymmetrizer// [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrizer]]
+  * J.J. Sakurai, //Modern Quantum Mechanics//, 3.4 - Quantum Statistical Mechanics (Cambridge University Press)