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물리:2차원_이징_모형 [2021/11/05 00:07] – [자유에너지] admin | 물리:2차원_이징_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 263: | Line 263: | ||
$$\int d\varphi d\bar{\varphi} e^{\lambda \bar{\varphi} \varphi} = \int d\varphi d\bar{\varphi} (1+\lambda \bar{\varphi}\varphi) = \lambda$$ | $$\int d\varphi d\bar{\varphi} e^{\lambda \bar{\varphi} \varphi} = \int d\varphi d\bar{\varphi} (1+\lambda \bar{\varphi}\varphi) = \lambda$$ | ||
이므로 | 이므로 | ||
- | $$\int d\varphi_1 d\bar{\varphi}_1 \cdots d\varphi_n d\bar{\varphi}_n \exp(\sum_\beta \lambda_\beta \bar{\varphi}_\beta \varphi_\beta ) = \prod_\beta \lambda_\beta$$ | + | $$\int d\varphi_1 d\bar{\varphi}_1 \cdots d\varphi_n d\bar{\varphi}_n \exp \left(\sum_\beta \lambda_\beta \bar{\varphi}_\beta \varphi_\beta |
혹은 | 혹은 | ||
- | $$\int D\varphi D\bar{\varphi} \exp (\sum_{\alpha, | + | $$\int D\varphi D\bar{\varphi} \exp \left(-\sum_{\alpha, |
- | 여기서 | + | 단, $\Lambda$는 $n \times n$ 행렬이고 여기서 $\bar{\varphi}$ 위의 선이 반드시 복소켤레를 의미할 필요는 없다. 간단한 예로서 $\Lambda = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$이면 |
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | \int d\varphi_1 d\varphi_2 d\bar{\varphi}_1 d\bar{\varphi}_2 \exp (\sum_{\alpha, | + | \int d\varphi_1 d\varphi_2 d\bar{\varphi}_1 d\bar{\varphi}_2 \exp \left(-\sum_{\alpha, |
- | \int d\varphi_1 d\bar{\varphi}_1 d\varphi_2 d\bar{\varphi}_2 (1 + \frac{1}{2} \bar{\varphi}_1 a \varphi_1 \bar{\varphi}_2 d \varphi_2 | + | \int d\varphi_1 d\bar{\varphi}_1 d\varphi_2 d\bar{\varphi}_2 |
&=& ad-bc. | &=& ad-bc. | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | 이제 반대칭 행렬 $\Lambda$에 대해($\Lambda_{\alpha\beta} = -\Lambda_{\beta\alpha}$) $\bar{\varphi}$에 대한 적분 없이 쓰면 다음의 적분을 행하면 행렬식(determinant) 대신 그 반쪽에 해당하는 파피안(Pfaffian)을 얻는다: | + | 이제 |
- | $$\int D\varphi \exp (\frac{1}{2} \sum_{\alpha, | + | $$\int D\varphi \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{\alpha, |
- | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 그라스만 변수 $\varphi_1$과 $\varphi_2$가 있을 때 $\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & -a \\ a & 0 \end{pmatrix}$이라면 | + | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 그라스만 변수 $\varphi_1$과 $\varphi_2$가 있을 때 $\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$이라면 |
- | $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp(-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 (1-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1) = a.$$ | + | $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j |
행렬이 블록으로 쪼개어질 때 $\det \Lambda = \prod_i \det \Lambda_i$로 쓸 수 있는 것처럼 $\text{Pfaff} \Lambda = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i$처럼도 쓸 수 있다. | 행렬이 블록으로 쪼개어질 때 $\det \Lambda = \prod_i \det \Lambda_i$로 쓸 수 있는 것처럼 $\text{Pfaff} \Lambda = \prod_i \text{Pfaff} \Lambda_i$처럼도 쓸 수 있다. | ||
Line 282: | Line 282: | ||
=====자유에너지===== | =====자유에너지===== | ||
다시 작용을 적어보면 | 다시 작용을 적어보면 | ||
+ | $$S = \frac{1}{2\pi} \int d^2 x (\varphi \bar{\partial} \varphi + \bar{\varphi} \partial \bar{\varphi} + im\bar{\varphi} \varphi)$$ | ||
+ | 이며, 여기에서 미분연산자는 반대칭행렬로 나타낼 수 있음에 유의할 것. 예를 들어 간격 $\Delta$로 $N$개의 입자가 늘어서 있는 길이 $L=N\Delta$의 1차원 계를 생각한다면 | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | S &=& \frac{1}{2} | + | &&\int dx \left( |
- | &=& \frac{1}{2} \int d^2 x \begin{pmatrix} | + | \approx |
- | \begin{pmatrix} | + | &=& \begin{pmatrix} \varphi_0 & \varphi_1 |
- | \bar{\partial} & -im/2 \\ | + | \left( |
- | im/2 & \partial | + | 0 & \frac{1}{4\Delta} & 0 & \cdots & 0 & -\frac{1}{4\Delta} |
- | \end{pmatrix} | + | -\frac{1}{4\Delta} & 0 & \frac{1}{4\Delta} & \cdots & 0 & 0 & 0 & -\frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0\\ |
- | \begin{pmatrix} | + | \vdots & & & \ddots & & & \vdots & & & & \ddots & \vdots \\ |
- | &\sim& | + | \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots |
- | \frac{1}{2} \sum_x \begin{pmatrix} | + | \frac{im}{2} & 0 & 0 & 0 & \cdots |
- | \begin{pmatrix} | + | 0 & \frac{im}{2} & 0 & 0 & \cdots |
- | \bar{\partial} & -im/2 \\ | + | \vdots |
- | im/2 & \partial | + | 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -\frac{im}{2} & \frac{1}{4\Delta} & 0 & 0 & \cdots & -\frac{1}{4\Delta} & 0 |
- | \end{pmatrix} | + | \end{array}\right) |
- | \begin{pmatrix} \varphi | + | \begin{pmatrix} |
- | &=& | + | &=& -\frac{1}{2} \sum_{\alpha=0}^{2N-1} \sum_{\beta=0}^{2N-1} \tilde{\varphi}_\alpha \Lambda_{\alpha\beta} \tilde{\varphi}_\beta. |
- | \frac{1}{2} | + | |
- | \begin{pmatrix} | + | |
- | \begin{pmatrix} | + | |
- | \bar{\partial} & -im/2 & 0 & 0 & \cdots \\ | + | |
- | im/2 & \partial | + | |
- | 0 & 0 & \bar{\partial} & -im/2 & \cdots\\ | + | |
- | 0 & 0 & im/2 & \partial | + | |
- | \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots | + | |
- | \end{pmatrix} | + | |
- | \begin{pmatrix} \varphi_{x_1} \\ \bar{\varphi}_{x_1} | + | |
- | &\rightarrow& \frac{1}{2} \Psi(\varphi) \Lambda | + | |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | 이며 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는 | + | 여기에서는 중심미분을 사용했지만 앞에서와 일관되게 $\partial_1 \varphi \approx (\varphi_{j+1}-\varphi_j)/ |
- | $$Z = \int D\varphi D\bar{\varphi} \exp(-S) = \prod_i | + | |
- | 그러므로 여기에 로그를 취하면 | + | 이것을 지수함수 위에 올려 적분하는 분배함수는 |
+ | $$Z = \int D\tilde{\varphi} \exp(-S) = \text{Pfaff}\Lambda = \prod_{n=0}^{N-1} \left( \frac{1}{\Delta^2} \sin^2 k_n \Delta + m^2 \right)^{1/ | ||
+ | |||
+ | 2차원 문제로 돌아와서 $k^2=k_x^2 +k_y^2$으로 일반화하고 $Z$에 로그를 취하면 | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
- | -\beta | + | -\beta |
- | & | + | \propto |
- | &=& \int dp ~2\pi p \ln (p^2 + m^2)\\ | + | = \frac{1}{8\pi^2} |
- | &=& \pi [(p^2+m^2) \ln(p^2+m^2) - p^2]. | + | & |
+ | = \frac{1}{8\pi} m^2 \ln(m^2) + k^2 \ln(m^2) + O(k^4). | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | $p \to 0$에서 $-\beta | + | 장파장 영역($k \to 0$)에서 $-\beta |
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
- | * Robert Savit, //Duality in field theory and statistical systems//, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980) | + | * Robert Savit, //Duality in field theory and statistical systems//, Rev. Mod. Phys. 52, 453 (1980). |
* //Ising Field Theory// by A. Zamolodchikov, | * //Ising Field Theory// by A. Zamolodchikov, | ||
+ | * V. N. Plechko, J. Phys. Studies, 1, 554 (1997). | ||
+ | * https:// | ||
+ | * J.M Carmona, A. Di Giacomoa, and B. Lucini, //A disorder analysis of the Ising model//, Phys. Lett. B, 485, 126 (2000). | ||
+ | * Massimo D’Elia and Luca Tagliacozzo, |