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--- ma_dasgupta_hu_재규격화 [2022/06/16 15:58] – jiwon
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 차원 무작위 가로장 이징 모형의 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.
  $H_{1D} = -\sum_{i}J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z - \sum_ig_i\sigma_i^x$
-여기서 결합상수  $J_{i,i+1}$ 와 가로장의 세기  $g_i$ 는 어떤 분포함수로부터 무작위로 결정된다. 여기서는 Ma,Dasgupta,Hu(참고문헌2,3)가 제시한 재규격화군 변환을 이용해 임계점의 특성을 살펴볼것이다.
+여기서 결합상수  $J_{i,i+1}$ 와 가로장의 세기  $g_i$ 는 각각의 분포함수로부터 무작위로 결정된다.
+Ma,Dasgupta,Hu가 제시한 재규격화군 변환은 시스템에서 가장 큰 에너지를 갖는 결합상수( $J_{i,i+1}$  혹은  $g_i$ )를 찾은 다음 이를 제거해가면서 계의 유효 해밀토니안을 얻는 방법이다. 먼저 계에서 가장 큰 결합상수를
+ $\Omega = \max\{J_{i,i+1},g_i\}$
+로 정의하자. 만일  $\Omega = g_i$ (즉,  $i$ 번째 스핀에 작용하는 가로장의 세기가 가장 큰 경우)라면,  $i$ 번째 스핀의 바닥상태는  $\vert+\rangle_i=\left(\vert\uparrow\rangle_i+\vert\downarrow\rangle_i\right)/2$ 가 될 것이고 스핀  $i$ 가 관여하는 다른 항들의 기여는 스핀  $i$ 에 대한 섭동으로 생각할 수 있을 것이다.
+다시 말하면, 전체 해밀토니안에서 스핀  $i$ 가 기여하는 부분은
+ $H = -J_{i-1,i}\sigma_{i-1}^z\sigma_i^z-J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z-g_i\sigma_i^x$
+이고,  $g_i$ 가 가장 크므로  $H$ 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
+ $\frac1{g_i}H = \sigma_i^x+\frac1{g_i}(-J_{i-1,i}\sigma_{i-1}^z\sigma_i^z-J_{i,i+1}\sigma_i^z\sigma_{i+1}^z) = H_0 + \frac1{g_i}V$
+기저 상태  $\vert+\rangle_i$ 에 대해  $V$ 를 2차항까지 섭동전개하면
+\begin{align*}
+\frac1{g_i}E_g' &= -1+\frac1{g_i}{}_i\langle+\vert V\vert+\rangle_i+\frac1{g_i^2}\frac{\vert{}_i\langle-\vert V\vert+\rangle_i\vert^2}{2}+\mathcal O(g_i^{-3})\\
+&= -1 + \frac{J_{i-1,i}^2+J_{i,i+1}^2}{2g_i^2}+\frac{J_{i-1,i}J_{i,i+1}}{g_i^2}\sigma_{i-1}^z\sigma_{i+1}^z
+\end{align*}
+가 된다. 이는 스핀  $i$ 를 없앤 다음 스핀  $i-1$ 과  $i+1$ 을 새로운 결합상수  $J_{i-1,i}J_{i,i+1}/g_i$ 로 이어주었음을 의미한다. 그리고  $g_i>J_{i-1,i}, J_{i,i+1}$ 이므로 새로운 결합상수는 항상  $g_i$ 보다 작게 된다.
+만일  $\Omega=J_{i,i+1}$ 라면 스핀  $i$ 와  $i+1$ 가 연관된 기저상태는  $\vert+\rangle_i\vert+\rangle_{i+1}$ ,  $\vert-\rangle_i\vert-\rangle_{i+1}$  두가지로 존재하고 위와 똑같은 과정을 거치면 이 두 스핀이 새로운 가로장 세기  $g_ig_{i+1}/J_{i,i+1}$ 를 가지는 하나의 스핀으로 대체된다는 것을 알 수 있다. 이 단계를 계속 반복하다 보면 적당한  $\Omega$ 를 가지는 유효 해밀토니안을 얻어낼 수 있다.
+=====흐름 방정식=====
+위 과정을 거치면 결합상수와 가로장의 세기가 변화하므로 초기의 확률분포와 재규격화군 변환을 거친 후의 확률분포가 달라진다. 여기서는 위 규칙을 적용했을 때 결합상수와 가로장 세기의 확률분포가 어떻게 변화하는지 보고자 한다. 편의를 위해
+\begin{align*}
+\Gamma&=\ln(\Omega_I/\Omega)\ge0\\
+\zeta&=\ln(\Omega/J)\ge0\\
+\beta&=\ln(\beta/g)\ge0
+\end{align*}
+를 정의하자. 여기서  $\Omega_i$ 는 초기 상태의  $\Omega$ 를 의미한다. 그리고 결합상수의 분포를  $P(\zeta;\Gamma)$ , 가로장 세기의 분포를  $R(\beta;\Gamma)$ 로 쓰자.