물리:칼데이라-레겟_모형 [statphys]

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======개요======
칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]](harmonic oscillator)의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.

======라그랑지언======
우리가 관심있는 계와 열저장체를 합쳐서 모두를 기술하는 [[물리:라그랑지언]]을 다음처럼 구축하자:
$$L = L_S + L_R + L_I + L_{CT}.$$
이 때에
$$L_S = \frac{1}{2} M\dot{q}^2 - V(q)$$
는 우리가 계로 간주하는 입자의 [[물리:라그랑지언]]을 기술하는데 $M$은 입자의 질량, $q$는 그 위치 좌표이며, 그 위에 점을 찍을 경우 시간 미분을 의미한다. $V$는 퍼텐셜이다.

열저장체를 기술하는 [[물리:라그랑지언]] $L_R$은 다음처럼 적을 수 있다:
$$L_R = \sum_k \left( \frac{1}{2} m_k \dot{q}_k^2 - \frac{1}{2} m_k \omega_k^2 q_k^2 \right).$$
이 때에 $k$는 진동자를 구분하기 위한 첨자로서, 각 진동자는 질량 $m_k$, 고유진동수 $\omega_k$, 그리고 상태를 기술하는 좌표 $q_k$를 가진다.

계와 열저장체 사이의 상호작용은 다음처럼 각 좌표가 한번씩만 나타나는 형태로 기술하며
$$L_I = q \sum_k c_k q_k,$$
여기에서 $c_k$는 결합상수이다.

마지막의 $L_{CT}$는 소위 반대항(counter term)으로서
$$L_{CT} = -q^2 \sum_k \frac{1}{2} \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2}$$
으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다.

======운동방정식======
위의 [[물리:라그랑지언]] $L$을 [[수학:오일러-라그랑주 방정식]]에 집어넣으면 다음처럼 운동방정식들을 얻는다:
$$M\ddot{q} = -V'(q) + \sum_k c_k q_k - q \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2},$$
$$m_k \ddot{q}_k = q c_k - m_k \omega_k^2 q_k.$$
첫 번째 식은 계의 좌표 $q$에 대해 얻은 식이고 두 번째 식은 $k$ 번째 조화진동자 $q_k$에 대해 얻은 식이다. $V$에 붙은 프라임(') 기호는 $q$에 대한 미분을 의미한다.

이 중 두 번째 식을 [[수학:라플라스 변환]]해서 풀고 그 결과를 첫 번째 식에 대입할 것이다. 참고로, 라플라스 변환을 $\mathcal{L}$이라 표기하고, $t$에 대한 임의의 함수 $F(t)$에 대해 $\tilde{F}(s) = \mathcal{L}[F(t)]$처럼 적을 것이다. 역변환은 $\mathcal{L}^{-1}$로 표기하고, 따라서 $\mathcal{L}^{-1}[\tilde{F}(s)] = F(t)$이다.

두 번째 식을 변환한 결과가
$$m_k [s^2 \tilde{q}_k(s) - sq_k(0) - \dot{q}_k(0)] = c_k \tilde{q}(s) - m_k \omega_k^2 \tilde{q}_k(s)$$
이고 이를 정리해서 적어보면 다음과 같다:
$$\tilde{q}_k(s) = \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{c_k \tilde{q}(s)}{m_k (s^2 + \omega_k^2)}.$$
이를 역변환한 $q_k(t) = \mathcal{L}^{-1} [\tilde{q}_k(s)]$를 위 첫 번째 식에 대입하면
$$M \ddot{q} + V'(q) + q\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{c_k \tilde{q}(s)}{m_k (s^2 + \omega_k^2)} \right]$$
을 얻는다. 이 중 우변의 마지막 항은 다음처럼 정리된다:
$$\sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{c_k \tilde{q}(s)}{m_k (s^2 + \omega_k^2)} \right] = \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \left( 1 - \frac{s^2}{s^2 + \omega_k^2} \right) \tilde{q}(s) \right]
= q \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} - \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$
이를 원래 위치에 대입하고 정리하면 계의 운동방정식을 이렇게 고쳐쓸 수 있다:
$$M \ddot{q} + V'(q) + \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right] = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$

======흩어지기 (dissipation)======
좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학:라플라스 변환|라플라스 역변환]]은 다음의 브롬위치 적분(Bromwich integral)으로 주어진다:
$$\mathcal{L}^{-1} \left[ \tilde{F}(s) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} \tilde{F}(s) e^{st} ds.$$
이 때에 $\epsilon$은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 $t$에 대해 미분할 경우
$$\frac{d}{dt} \mathcal{L}^{-1} \left[ \tilde{F}(s) \right] = \frac{1}{2\pi i} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} s \tilde{F}(s) e^{st} ds = \mathcal{L}^{-1} \left[ s \tilde{F}(s) \right]$$
임은 자명하다. 이를 이용하면, 위 절의 마지막 운동방정식에서 좌변의 마지막 항이 다음처럼 표현된다는 것을 알 수 있다:
\begin{eqnarray*}
\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s^2 \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right] &=& \frac{d}{dt} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s \tilde{q}(s)}{s^2 + \omega_k^2} \right]\\
&=& \frac{d}{dt} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \left[ \cos \omega_k t \times u(t) \right] \ast q(t)\\
&=& \frac{d}{dt} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \int_0^t \cos [\omega_k(t-t')] q(t') dt'
\end{eqnarray*}
이 때에 $u(t)$는 $t>0$일 경우 $1$, 아닐 경우 $0$을 주는 함수이고 연산자 $\ast$는 [[수학:합성곱]](convolution)을 의미한다.

아래에서 설명할 스펙트럼 함수와 [[수학:합성곱|합성곱의 미분식]]을 사용해 다시 쓰면 이렇게 된다:
$$\frac{d}{dt} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \int_0^t \cos [\omega_k(t-t')] q(t') dt' = \frac{d}{dt} \int_0^t 2\eta \delta(t-t') q(t') dt' = \eta \dot{q}(t) + 2\eta q(0) \delta(t).$$


=====스펙트럼 함수 (spectral function)=====
스펙트럼 함수 $J(\omega)$를 다음처럼 정의하자:
$$J(\omega) = \frac{\pi}{2} \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k} \delta(\omega - \omega_k)$$
그러면
$$\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] = \frac{\pi}{2} \int_0^\infty d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]$$
인데, 구체적으로 어떤 비례상수 $\eta$가 있어서
$$J(\omega) = \left\{ \begin{array}{lr}
\eta \omega & \mbox{for~} \omega<\Omega\\
0 & \mbox{for~} \omega>\Omega
\end{array} \right.$$
가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다:
\begin{eqnarray*}
\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\Omega d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
&=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t').
\end{eqnarray*}
마지막 식은 [[수학:디락 델타 함수|디락 델타 함수의 적분 표현식]]을 사용해 유도했다.


======요동 (fluctuation)======
위 운동방정식의 마지막 항을 $f(t)$라고 부르자:
$$f(t) = \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right].$$
위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 $t>0^+$에서
$$M \ddot{q} + \eta \dot{q} + V'(q) = f(t)$$
가 될 것이다. 이는 [[물리:랑주뱅 방정식]]과 같은 형태이며, 우리가 확인해야 할 것은 $\left< f(t) \right>=0$과 $\left< f(t) f(t') \right> = 2\eta k_B T \delta(t-t')$이라는 [[물리:랑주뱅 방정식]]의 가정이 만족되는지의 여부이다.

이를 위해 몇 가지 정보를 먼저 적어두자. 먼저 $t=0$에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]](equipartition theorem)를 생각하면 앙상블 평균 $\left< \ldots \right>$에 대해 다음이 성립한다:
\begin{eqnarray*}
\left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\
\left< \dot{q}_k \Delta q_k(0) \right> &=& 0,\\
\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right> &=& \frac{k_B T}{m_k} \delta_{kk'},\\
\left< \Delta q_k(0) \Delta q_{k'}(0) \right> &=& \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.\\
\end{eqnarray*}
이 때에 $\Delta q_k(0) = q_k(0) - \overline{q}_k(0)$는 평형점 $\overline{q}_k(0)$으로부터 벗어난 변위를 의미하고
$k_B$는 [[물리:볼츠만 상수]], $\delta_{kk'}$은 [[수학:크로네커 델타]]이다.

이 평형점은 $q_k$에 대한 운동방정식에서 $\ddot{q}_k=0$으로 놓으면
$$\overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$$
로 주어진다. [[물리:조화진동자]]가 평형점 근처에 머무르므로 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$, 혹은 $\left< q_k(0) \right> = \overline{q}_k(0) = \frac{c_k}{m_k \omega_k^2} q(0)$이다.

=====평균=====
$f(t)$의 평균을 보면, 먼저 $\left< \dot{q}_k(0) \right> = 0$이므로
\begin{eqnarray*}
\left< f(t) \right> &=& \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s \left< q_k(0) \right>}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{ \left< \dot{q}_k(0) \right>}{s^2 + \omega_k^2} \right] =  \sum_k c_k \left< q_k(0) \right> \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s}{s^2 + \omega_k^2} \right]\\
&=& q(0) \sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k t \times u(t) = 2\eta q(0) \delta(t) u(t)
\end{eqnarray*}
이다. 따라서 $t>0^+$에서 $\left< f(t) \right> = 0$이다.

=====상관함수=====
이번에는 상관함수를 보면, [[물리:라플라스 변환|브롬위치 적분]]을 도입해서
\begin{eqnarray*}
\left< f(t) f(t') \right> &=& \left< \left\{ \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right] \right\} \times
\left\{ \sum_{k'} c_{k'} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{s' q_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} + \frac{\dot{q}_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} \right] \right\} \right>\\
&=& \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds' \sum_{kk'} c_k c_{k'} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right] e^{st} e^{s't'}\\
&=& \sum_{kk'} c_k c_{k'} \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right]
\end{eqnarray*}
처럼 쓸 수 있다. 이 때 $\mathcal{L'}$은 $t$를 $s'$과 연결짓는 [[수학:라플라스 변환]]을 의미한다.

여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다:
$$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$
이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 $0$이다.

따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다:
\begin{eqnarray*}
\left< f(t) f(t') \right> &=& \sum_k c_k^2 \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{k_B T}{m_k (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} + \frac{ss' k_B T}{m_k \omega_k^2 (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} \right]\\
&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \left( \sin \omega_k t \sin \omega_k t' + \cos \omega_k t \cos \omega_k t' \right) u(t) u(t')\\
&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k (t-t')\\
&=& 2\eta k_B T \delta(t-t').
\end{eqnarray*}

======논의======
열저장체 안에 있는 진동자의 수가 유한할 때, 특히 $V=0$ 또는 $V \propto x^2$일 때에는 주기적인 동역학을 볼 수 있다(푸앵카레 재귀). 그러나 진동자의 수가 늘어남에 따라 재귀시간이 아주 길어지므로, 그 재귀시간보다 아주 짧은 시간 영역만을 봄으로써 주기성을 무시한다.

======함께 보기======
[[물리:린드블라드_방정식|린드블라드 방정식]]

======참고문헌======
  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]]
  *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
  *[[https://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Nonequilibrium16/07_22a.pdf|Nicolas Borghini's lecture note]]
  *[[https://arxiv.org/pdf/1701.05024|Dissipation in the Caldeira-Leggett model]]