배규호:막걷기_운동 [statphys]

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======막걷기 운동======

가장 기본적인 막걷기 운동(random walk)를 입자 에 대해 이야기하자면, 공간에 놓여있는 어느 입자가 시간간격 $t^{\prime} \in (0,t_i)$ 동안 특별히 선호하는 방향이 없이 변위 $\Delta \vec x = \vec x - \vec x_0$ 를 움직이는 것이다.

======이동거리의 크기가 제한된 막걷기 운동======

논의의 편의를 위해 1차원 공간 위에 놓인 입자가 시간간격 $\Delta t$ 동안 거리 $l$ 만큼을 갈 수 있다고 하자. 입자가 특별히 선호하는 방향이 없다고 가정하자. 또한 입자는 주어진 시간간격동안 반드시 오른쪽 혹은 왼쪽으로 이동해야만 한다고 하자.

다음 시간간격 동안 입자가 오른쪽으로 움직일 확률을 $prob(moveright) = \frac{1}{2}$, 왼쪽으로 갈 확률은 $prob(moveleft) = 1 - prob(moveright) = \frac{1}{2} $ 이다. 

입자가 시간 $ T = N\Delta t $ 동안 움직였을 때 오른쪽으로 움직인 횟수를 $n$, 왼쪽으로 움직인 횟수를 $N-n$ 이라고 한다면 입자의 최종 위치는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있다. 

$$ x = nl - (N-n)l = (2n -N)l$$

만일 입자의 평균 위치를 알고 싶다면 시간 $T$ 동안 움직였을 때 위치 $x$ 에 있을 확률을 알아야 한다. 여기에서는 두 가지 방법으로 확률분포를 유도해 보도록 하겠다. 


====$t=0$ 에서 추적하기====
입자가 시간 $T$, 다시말해 N번의 걸음을 걸었을때 특정한 위치 $x$에 있으려면 그 이전 걸음에서 입자는 $x-l$ 혹은 $x+l$에 있어야 한다. 그리고 오른쪽으로 갈 확률과 그 반대로 갈 확률이 같기 때문에 확률은 다음과 같다.  

$$ Prob(x\: at \: Nth \: step) = P_N(x) = \frac{1}{2}\big[P_{N-1}(x-l) + P_{N-1}(x+l)\big] $$

위의 식을 직접 다루려면 $P_0(x)$에 대해 알고 있어야 한다. 입자가 시간 $0$에서 $x = 0$에서 출발했다면 $P_0(x) = \delta_{x,0}$ 이라고 쓸 수 있을 것이다. $P_1(x)$를 구하기 위해 $P_0(x)$를 바로 위 식에 넣으면 결과는 $P_1(x) = 0$이다. 하지만 $0$번째 위치에서 입자가 반드시 움직여야만 하기 때문에 $P_1(x-l) = \delta_{x,0}(\frac{1}{2}),\: P_1(x+l) = \delta_{x,0}(\frac{1}{2})$임을 알 수 있다. 

이제 $P_2(x)$를 적어보자. 

$$  P_2(x) = \frac{1}{2}\big[P_{1}(x-l) + P_{1}(x+l)\big] $$
$$  P_2(x) = \frac{1}{2}\big[\delta_{x,0}(\frac{1}{2}) + \delta_{x,0}(\frac{1}{2})\big] $$
$$  P_2(0) = \frac{1}{2}\big[\delta_{0,0}(\frac{1}{2}) + \delta_{0,0}(\frac{1}{2})\big] $$
$$  P_2(0) = \frac{1}{2} $$
여기에서 P_2(x)의 확률이 $x =0 $ 에서 $\frac{1}{2}$로 주어진다는 것은 다른 x값에 대해서도 확률이 있다는 것이다. 1번째 이동 후 입자의 위치는 $+l$ 혹은 $-l$이어야 한다. 그렇다면 2번째 이동 후 입자의 위치는 $(-2l,0,2l)$의 세 값을 가질 수 있다. 따라서 나머지 위치에 대한 확률을 구해야 한다. 

$$P_{2}(x = 2l) = \frac{1}{2}\big[P_{1}(l) + P_{1}(3l)\big]$$

$P_1(x+l) = \delta_{x,0}(\frac{1}{2})$ 를 이용하면

$$P_{2}(x = 2l) = \frac{1}{2}\big[\delta_{0,0}(\frac{1}{2}) + \delta_{2l,0}(\frac{1}{2})\big] $$
$$P_{2}(2l) = \frac{1}{4}$$

비슷한 계산을 통해 $P_{2}(-2l) = \frac{1}{4}$를 얻을 수 있다.

위와 같은 계산을 반복하면 일반적으로 $P_{N}(x)$를 아래와 같이 나타낼 수 있다. 

$$P_{N}(x) = 2^{-x/l} \delta_{x,k_N} $$

이 때 $k_N$은 N번의 이동 후 가질 수 있는 모든 위치이다. 위와 같은 표현은 어떠한 근사도 들어가지 않았다는 점에서 장점이 있지만 계산의 지루함과 연속분포로의 유도가 어렵다는 단점이 있다. 

====이항분포에서 유도====

만일 입자가 $N$ 번의 이동을 했을 때 $r$ 번을 오른쪽으로 선택했다면 결국 입자는 $x = (2r-N)l$에 있을 것이다. 이러한 조합들의 갯수는 $\frac{N!}{r!(N-r)!}$ 으로 주어진다.