수학:허바드-스트라토노비치_변환 [statphys]

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======개요======
$a>0$일 때에 [[수학:윅의_정리|1차원 가우스 함수의 적분]]의 간단한 응용으로 다음 식이 성립한다:
$$e^{ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 + \sqrt{N}amx}.$$
해밀토니안 안에 $x$의 제곱항이 들어가 있을 때에 우변과 같이 변환하면 $x$의 선형항만이 남고
그 대신 보조변수인 $m$이 등장하게 된다.
예컨대 $x$가 스핀 변수들이라면 [[물리:스핀-스핀 상호작용]]이 스핀과 어떤 장 $m$ 사이의 상호작용으로 바뀌어 기술된다.

비슷한 예로서, 역시 $a>0$일 때에
$$e^{-ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 - i\sqrt{N}amx}.$$

======1차원======
=====실수 변수=====
$$-\frac{a}{2}x^2+ bx = -\frac{a}{2}\left(x-\frac{b}{a}\right)^2 + \frac{b^2}{2a}$$
이므로
\begin{eqnarray*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(a/2)x^2+bx} dx &=& e^{b^2/(2a)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(a/2)[x-(b/a)]^2} dx\\
&=& e^{b^2/(2a)} \int_{-\infty-b/a}^{\infty-b/a} e^{-(a/2)y^2} dy\\
&=& \sqrt{\frac{2\pi}{a}} e^{b^2/(2a)}.
\end{eqnarray*}

=====연산자=====
\begin{eqnarray*}
\hat{R} &=& \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{a}{2}x^2 \hat{1} + \hat{B}x\right) dx\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{\hat{B}}^n}{n!} \sqrt{\frac{a}{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} x^n \exp\left( -\frac{a}{2} x^2 \right) dx.
\end{eqnarray*}
여기에서 $n$이 홀수인 경우는 적분에 기여하지 않으며, $n=2m$일 때
$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2m} \exp\left( -\frac{a}{2} x^2 \right) dx = \left( \frac{2}{a} \right)^{m+\frac12} \Gamma\left( m +\frac12 \right)$$
그리고 르장드르 이중 공식(Legendre duplication formula)에 의해
$$\Gamma\left(m +\frac12 \right) = 2^{1-2m} \sqrt{\pi} \frac{\Gamma(2m)}{\Gamma(m)}$$
이므로
$$\hat{R} = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \frac{\hat{B}^2}{2a} \right)^m \frac{1}{m!} = \exp\left( \frac{1}{2a} \hat{B}^2 \right).$$

======이중 적분======
=====복소 적분변수=====
$dz^\ast dz = 2i~dx~dy$임을 이용한다. $\left[ \hat{B}, \hat{B}^\dagger \right]=0$이라면
\begin{eqnarray*}
\hat{R} &=& \frac{a}{2\pi i} \int_{\mathbb{C}} dz^\ast dz \exp\left( -z^\ast a z + \hat{B} z^\ast + \hat{B}^\dagger z \right)\\
&=& \frac{2ia}{2\pi i} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \exp\left[ -ax^2 - ay^2 + \hat{B}(x-iy) + \hat{B}^\dagger (x+iy) \right]\\
&=& \frac{a}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \exp\left[ -ax^2 - ay^2 + x\left( \hat{B}^\dagger + \hat{B} \right) + iy \left( \hat{B}^\dagger  - \hat{B} \right) \right]\\
&=& \frac{a}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dx \exp\left[ -ax^2 + x\left( \hat{B}^\dagger + \hat{B} \right) \right] \int_{-\infty}^{\infty} dy \exp\left[ - ay^2 + iy \left( \hat{B}^\dagger  - \hat{B} \right) \right]\\
&=& \exp\left[ \frac{1}{4a} \left( \hat{B}^\dagger + \hat{B} \right)^2 \right] \exp\left[ -\frac{1}{4a} \left( \hat{B}^\dagger - \hat{B} \right)^2 \right]\\
&=& \exp\left( \hat{B}^\dagger \hat{B} /a \right).
\end{eqnarray*}
$\hat{B}$가 일반적인 연산자라면
$$\exp\left(\hat{B}^2/a\right) = \frac{a}{2\pi i}\int dz^\ast dz \exp\left[ -z^\ast a z + \hat{B} (z^\ast + z) \right].$$

=====그라스만 변수=====
[[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]]의 경우
\begin{eqnarray*}
&&\frac{1}{a} \int d\eta^\ast \int d\eta \exp\left( -\eta^\ast a \eta + \hat{B}^\dagger \eta + \eta^\ast \hat{B} \right)\\
&=& \frac{1}{a} \int d\eta^\ast \int d\eta \left[ 1-\eta^\ast a \eta + \hat{B}^\dagger \eta + \eta^\ast \hat{B} + \frac12 \left( \hat{B}^\dagger \eta \eta^\ast \hat{B} + \eta^\ast \hat{B} \hat{B}^\dagger \eta \right) \right]\\
&=& \left[ 1 + \frac{1}{2a} \left(\hat{B}^\dagger \hat{B} - \hat{B} \hat{B}^\dagger \right) \right]\\
&=& \exp \left[ \frac{1}{2a} \left( \hat{B}^\dagger \hat{B} - \hat{B} \hat{B}^\dagger \right) \right].
\end{eqnarray*}
만일 $\hat{B}$와 $\hat{B}^\dagger$도 [[수학:그라스만_대수|그라스만 변수]] $\beta$와 $\beta^\ast$로 치환하면
$$\exp\left( \beta^\ast \beta a \right) = \frac{1}{a} \int d\eta^\ast \int d\eta \exp \left( -\eta^\ast a \eta + \beta^\ast \eta + \eta^\ast \beta \right).$$
======다변수 함수======
$\mathbb{A}$가 $n\times n$ 대칭행렬로서 양의 정부호(positive definite) 행렬이라고 하자. $\mathbf{x}$와 $\mathbf{b}$는 $n$차원의 실수 열벡터들이다. 유도는 [[수학:윅의_정리|다차원 가우스 함수의 적분]]을 참조.
$$\exp\left( \frac12 \mathbf{b}^\intercal \mathbb{A}^{-1} \mathbf{b} \right) = \sqrt{\frac{\det \mathbb{A}}{(2\pi)^n}} \int d^n x \exp\left( -\frac12 \mathbf{x}^\intercal \mathbb{A} \mathbf{x} + \mathbf{b}^\intercal \mathbf{x} \right).$$
======함께 보기======
  * [[:물리:평균장 이론]]
  * [[:물리:무작위장 이징 모형]]

======참고문헌======
  * Krzysztof Byczuk and Paweł Jakubczyk, //Generalized Gaussian integrals with application to the Hubbard–Stratonovich transformation//, [[https://doi.org/10.1119/5.0141045|Am. J. Phys. 91, 840 (2023)]].