이징 모형에서 외부장 $h$가 매지점마다 무작위로 주어지는 경우이다. 특히 $h$가 정규분포를 따라 $$P(h) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right)$$ 인 경우를 주로 다룬다. 그 무작위 분포의 폭 $\sigma$에 따라서 저온에서도 정렬되지 않은 채로 남아있을 수 있다.
모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 평균장 이론이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것. 분배 함수는 다음과 같다: $$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{-\beta H}.$$ 이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는 $$\left< F \right>_h = -T \left< \ln Z \right>_h$$ 이며 이 때 $\left< \right>_h$는 $h$의 분포에 따른 평균을 의미한다.
$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 복제 방법을 사용한다: $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{s_i^\alpha = \pm 1\right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h$$ 여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스로 $1$부터 $n$까지의 정수이다. 먼저 다음의 결과를 유도해놓자: \begin{eqnarray*} \left< e^{\lambda h_i} \right>_h &=& \int_{-\infty}^\infty P(h) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{(h-\sigma^2 \lambda)^2}{2\sigma^2} \right) \exp \left( \frac{\sigma^4 \lambda^2}{2\sigma^2} \right) dh\\ &=& \exp \left( \frac{\sigma^2 \lambda^2}{2} \right). \end{eqnarray*} 이를 이용하면 다음을 보일 수 있다: \begin{eqnarray*} \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h &=& \left< \exp \left[\beta \left( s_1^1 + s_1^2 + \ldots \right) h_1 + \left( s_2^1 + s_2^2 + \ldots \right) h_2 + \ldots \right] \right>_h\\ &=& \exp \left[ \frac{1}{2} \sum_i \left( \beta \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \sigma^2 \right]. \end{eqnarray*} 따라서 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]$$ 이다. 여기에서 $$\sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha = \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2$$이기 때문에, 허바드-스트라토노비치 변환을 사용하면 위의 지수함수 중 하나를 다음처럼 고쳐쓸 수 있다: $$\exp \left[ \frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2 \right] = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) \right].$$ 따라서 \begin{eqnarray*} \left< Z^n \right>_h &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\ &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( \tilde{x}_\alpha \sqrt{2\beta J} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\ &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) \exp \left\{ \sum_i \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\}\\ \end{eqnarray*} 이며 이 때 $\tilde{x}_\alpha \equiv x_\alpha / \sqrt{N}$으로 정의된다. 스핀 배치에 대한 합, $\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}}$에 걸리는 부분만을 먼저 생각해보자: $$\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left\{ \sum_{i=1}^N \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\} = \left\{ \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] \right\}^N.$$ 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ 로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여 $Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자.
지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \left< Z^n \right>_h &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) Z_1^N(\tilde{x}_\alpha)\\ &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ N \left(- \frac{1}{2} \tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1 \right) \right]. \end{eqnarray*}
적분 계산을 위해 안장점 근사를 사용하면, \begin{eqnarray*} 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\ &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\ &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}{\sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}. \end{eqnarray*} 따라서 $$\frac{\tilde{x}_\alpha}{\sqrt{2\beta J}} = \left< s^\alpha \right>_A$$ 인데 이것을 $m_\alpha$라고 부르자. 복제 대칭성이 있는 경우라면 $\alpha$에 상관없이 $m_\alpha = m$일 것이다. 우리는 이 대칭성이 존재하는 경우만을 다룬다. 이제 $$\left< Z^n \right>_h = \exp\left[ Nn \left( -\frac{1}{2} 2 \beta J m^2 \right) + N \ln Z_1 (\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m) - \frac{1}{2} n \ln c \right]$$ 이며, 여기에서 $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 - \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]_{\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m} = 1 - \left< ( s^\alpha - m )^2 \right>_A$$ 인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다.
$\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 $$e^{A(\{s^\alpha \},m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ 지수함수 안의 제곱항을 허바드-스트라토노비치 변환으로 처리해준다: $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$ 따라서 $$e^{A\{s^\alpha \},m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$ \begin{eqnarray*} Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(\{s^\alpha\},m)}\\ &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\ &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n\\ &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \exp \left\{ n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ &\approx& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left\{ 1 + n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ &=& 1 + n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \end{eqnarray*} 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$
지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다: \begin{eqnarray} \left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ &\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]. \end{eqnarray} 그러므로 \begin{eqnarray} \left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\ &=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \end{eqnarray} 이다.
이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면 $$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$ 으로부터 \begin{eqnarray} m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\ &=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}} \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\ &=& \int dh P(h) \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)] \end{eqnarray} 을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다. 이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다.