$d$차원의 긴즈버그-란다우 모형의 해밀토니안이 다음처럼 주어져 있다. $$ H = \frac{1}{2} \int d^dx \left[ r_0 \sigma^2 + \frac{1}{4} u\sigma^4 + c\left( \nabla \sigma \right)^2 \right] $$ 일반적으로 스핀 변수 $\sigma(x)$는 $n$차원 벡터로서 $\sigma^2$은 $\sigma \cdot \sigma$이고 $\sigma^4 = \left(\sigma \cdot \sigma \right)^2$을 의미한다. $x$는 $d$차원의 공간 벡터이다.

스핀 변수를 푸리에 변환하여 위 식을 다시 적으면 아래와 같다. $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2 + \frac{u}{8} L^{-d} \sum_{k,k',k''}\sum_{ij} \sigma_{i,k} \sigma_{i,k'} \sigma_{j,k''} \sigma_{j,-k-k'-k''}$$ $i$는 스핀의 성분을 나타내는 인덱스이고 $k$는 $d$차원 역공간(reciprocal space)의 벡터이다.

여기에서 4차항이 문제를 복잡하게 만들고 있으므로 간단히 $u=0$으로 놓아보자. 그러면 $$ H = \frac{1}{2} \sum_{i,k<\Lambda} (r_0 + ck^2) \left| \sigma_{i,k} \right|^2$$ 이고 여기에서 $\Lambda$는 $k$ 벡터의 상한이다. 재규격화를 통해서 새로운 해밀토니안 $H'$을 구하고자 한다. \begin{eqnarray*} H' &=& \frac{1}{2} \sum_{i,k<\Lambda/s} (r_0 + ck^2) \left| s^{1-\eta/2} \sigma_{i,sk} \right|^2\\ && \frac{1}{2} \sum_{i,k<\Lambda/s} (r_0 + ck^2) s^{2-\eta} \left| \sigma_{i,sk} \right|^2\\ && \frac{1}{2} \sum_{i,k'<\Lambda} (r_0 + cs^{-2} k'^2) s^{2-\eta} \left| \sigma_{i,k'} \right|^2\\ && \frac{1}{2} \sum_{i,k'<\Lambda} (r_0 s^{2-\eta} + c s^{-\eta} k'^2) \left| \sigma_{i,k'} \right|^2 \end{eqnarray*}

따라서 재규격화된 새로운 맺음변수들은 $r_0 s^{2-\eta} = r_0'$과 $s^{-\eta} c = c'$이다.

맺음변수 공간에서 원래의 점이 $\mu = (r_0, u, c) = (r_0, 0, c)$였다면, 재규격화 $R_s$를 가했을 때 옮겨진 점은 $\mu' = R_s \mu = (r_0 s^{2-\eta}, 0, cs^{-\eta})$이다.

만일 $\eta=0$이라면 $\mu^\ast = (0,0,c)$는 $R_s$의 고정점이고 그 떄의 해밀토니안은 $$H^\ast = \frac{c}{2} \int d^d x \left( \nabla \sigma \right)^2$$ 이다. $\left( \nabla \sigma \right)^2$은 인접한 스핀들 간의 상호작용을 나타내므로, 이 고정점은 임계점을 기술한다고 볼 수 있다.

재규격화의 고정점에 해당하는 $H^\ast$ 주변으로 약간의 섭동항 $\Delta H$가 있다고 하자. 즉 $H = H^\ast + \Delta H$이다. 재규격화를 통하면 일반적으로 해밀토니안 $H$가 $H' + AL^d$처럼 바뀐다: $$e^{-H'-AL^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$ 이 때, $\int \delta \phi$는 높은 파수 부분과 스핀의 모든 성분 $i$에 대해 적분한다는 뜻이다: $$\delta \phi \equiv \prod_{\Lambda/s < q < \Lambda} \prod_{i} d\sigma_{i,q}$$ 따라서 $H = H^\ast + \Delta H$처럼 항이 두 개이면 각각이 재규격화를 통해 둘로 갈라져 $H^\ast + A^\ast L^d + \Delta H' + \Delta A L^d$로 바뀐다. $$e^{-H^\ast-A^\ast L^d - \Delta H' - \Delta A L^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast - \Delta H} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$ 섭동이 작다고 가정되어 있으므로 지수함수를 전개하여 1차항까지만 적으면 위 식은 다음처럼 쓸 수 있다. $$\left(1-\Delta H' - \Delta A L^d \right) e^{-H^\ast-A^\ast L^d} = \left[ \int \delta \phi \left( 1 - \Delta H \right) e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$ $H^\ast$는 고정점이므로 $$e^{-H^\ast-AL^d} = \left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$ 이고, 이 성질을 활용하면 앞에서 전개했던 식은 좀더 간단히 $$\left(\Delta H' + \Delta A L^d \right) e^{-H^\ast-A^\ast L^d} = \left[ \int \delta \phi \Delta H e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}$$ 가 된다. 달리 말하면, \begin{eqnarray*} \Delta H' + \Delta A L^d &=& \frac{\left[ \int \delta \phi \Delta H e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}}{ e^{-H^\ast-A^\ast L^d}}\\ &=& \frac{\left[ \int \delta \phi \Delta H e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}}{\left[ \int \delta \phi e^{-H^\ast} \right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}}\\ &=& \left[ \frac{ \int \delta \phi \Delta H e^{-H^\ast} }{ \int \delta \phi e^{-H^\ast} }\right]_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}}\\ &=& \left< \Delta H \right>_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2}\sigma_{sk}} \end{eqnarray*} 이라는 것이다. 보통 그렇듯이 첫 번째 섭동항은 고정점 $H^\ast$의 성질만을 가지고 구할 수 있다.

$H^\ast$를 가우스 고정점으로 놓고 나머지 항들을 섭동으로 처리하자: \begin{eqnarray*} H &=& H^\ast + \Delta H\\ &=& \frac{c}{2} \int d^d x \left(\nabla \sigma \right)^2 + \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \sigma^2 + \frac{1}{4} u \sigma^4 \right). \end{eqnarray*} 그러면 위의 일반론에 의해 우리가 먼저 구해야 할 양은 아래와 같다: $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0 \left< \sigma^2 \right> + \frac{1}{4} u \left< \sigma^4 \right> \right).$$

스핀 변수 $\sigma$의 $i$ 번째 성분 $\sigma_i$를 파수에 따라 두 부분으로 나누어 적어보자. 즉 $$\sigma_i = \sigma_i' + \phi_i$$ 로서 그 푸리에 성분들을 밝혀 적으면 다음과 같다. $$\sigma_i' = L^{-d/2} \sum_{k<\Lambda/s} \sigma'_{i,k} e^{ik \cdot x}$$ $$\phi_i = L^{-d/2} \sum_{\Lambda/s<q<\Lambda} \sigma'_{i,q} e^{iq \cdot x}$$ 우리는 뭉뚱그림의 과정으로서 높은 파수 부분인 $\Lambda/s < k < \Lambda$에 대해 $\sigma^2$을 평균할 것이다. 먼저 $$ \left< \sigma^2 \right> = \left< \sigma'^2 + 2 \sigma' \cdot \phi + \phi^2 \right>_{\Lambda/s < k < \Lambda} = \sigma'^2 + \left< \phi^2 \right>$$ 인데 $\sigma'$은 낮은 파수만을 가져서 평균에 영향을 받지 않고, $\phi$의 홀수차항은 가우스 적분의 성질상 0이 되기 때문이다.

이제 우리가 봐야할 항은 $\phi^2$의 평균인데, 그 자세한 표현식은 다음과 같다: $$\left< \phi^2 \right> = \sum_i \left< \phi_i^2 \right> = L^{-d} \sum_{\Lambda/s < q < \Lambda} \sum_i \left< \sigma_{i,q} \sigma_{i,-q} \right>.$$ 가우스 고정점의 성질로부터 $\left< \sigma_{i,q} \sigma_{i,-q} \right> = (cq^2)^{-1}$이며, $\sum_q$는 $L^d (2\pi)^{-d} \int d^d q$에 대응된다. 스핀의 $n$개의 성분들이 모두 같은 방식으로 정리되어 \begin{eqnarray*} \left< \phi^2 \right> = n\left< \phi_i^2 \right> &=& n (2\pi)^{-d} \int d^d q (cq^2)^{-1}\\ &=& n \int_{\Lambda/s}^{\Lambda} dq ~K_d~ q^{d-1} (cq^2)^{-1} = n_c \left(1-s^{2-d} \right) \end{eqnarray*} 이며, 이 때 $n_c \equiv \frac{n}{c} K_d \Lambda^{d-2} / (d-2)$로 정의된다.

$\sigma$가 벡터라는 사실에 유의해서 써보면 $$\left< \sigma^4 \right> = \sigma'^4 + 2\sigma'^2 \left< \phi^2 \right> + 4 \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> + \left< \phi^4 \right>$$ 인데 이 중 $\left< \phi^2 \right>$까지는 이미 위에서 구했으므로 마지막 두 항을 살펴보자. \begin{eqnarray*} \left< (\phi \cdot \sigma')^2 \right> &=& \sum_{ij} \sigma'_i \sigma'_j \left< \phi_i \phi_j \right>\\ &=& \sum_i {\sigma'}_i^2 \left< \phi_i^2 \right> = \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sum_i {\sigma'}_i^2\\ &=& \frac{1}{n} \left< \phi^2 \right> \sigma'^2\\ &=& \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \sigma'^2\\ \left< \phi^4 \right> &=& \left< \sum_i \phi_i^2 \sum_j \phi_j^2 \right>\\ &=& \left< \sum_{i=j} \phi_i^2 \phi_j^2 + 2 \sum_{i>j} \phi_i^2 \phi_j^2 \right>\\ &=& 3n \left< \phi_i^2 \right>^2 + 2 \frac{n(n-1)}{2} \left< \phi_i^2 \right>^2\\ &=& (n^2+2n) \left< \phi_i^2 \right>^2\\ &=& (n^2+2n) \left[ \frac{n_c}{n} \left( 1-s^{2-d} \right) \right]^2 \end{eqnarray*}

위의 표현식들을 대입하면 $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ r_0 \left[ \sigma'^2 + n_c(1-s^{2-d}) \right] + \frac{1}{4} u \left[ \sigma'^4 + 2\sigma'^2 n_c (1-s^{2-d}) + 4\sigma'^2 \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) + (n^2+2n) \left( \frac{n_c}{n} \right)^2 (1-s^{2-d})^2 \right] \right\}$$ 인데, 적분 안의 내용 중 $\sigma'^2$과 $\sigma'^4$에 비례하는 항끼리 묶고 나머지를 $\Delta AL^d$라고 놓으면 다음처럼 쓸 수 있다: $$\left< \Delta H \right> = \frac{1}{2} \int d^d x \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] \sigma'^2 + \frac{1}{4} u\sigma'^4 \right\} + \Delta A L^d.$$

가우스 고정점에서 $\eta=0$이므로 실제로는 $\sigma = s \sigma_{sk}$이다. 실공간에서 보면 재규격화를 거친 위치 벡터는 $$x' = x/s$$의 관계에 있으며, 스핀 변수 $\sigma_x$는 $$\sigma_x = \lambda_s \sigma_{x'} = s^{1-d/2} \sigma_{x'}$$처럼 바뀌고, 적분 자체는 $$\int d^d x = s^d \int d^d x'$$로 바뀌어서 표현된다. 따라서 \begin{eqnarray*} \left< \Delta H \right>_{\sigma_k \to s^{1-\eta/2} \sigma_{sk}} &=& \frac{1}{2} \int d^d x' s^d \left\{ \left[ r_0 + u\left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right] s^{2-d} \sigma^2 + \frac{1}{4} u s^{4-2d} \sigma^4 \right\} + \Delta A L^d\\ &=& \frac{1}{2} \int d^d x \left( r_0' \sigma^2 + \frac{1}{4} u' \sigma^4 \right) + \Delta A L^d \end{eqnarray*} 로서, 재규격화된 상호작용의 맺음변수들은 다음처럼 정리된다. \begin{eqnarray*} r_0' &=& s^2 \left[ r_0 + u \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n} (1-s^{2-d}) \right]\\ u' &=& s^{4-d} u. \end{eqnarray*} 혹은 $B \equiv \left( \frac{n}{2}+1 \right) \frac{n_c}{n}$로 줄인 다음 행렬로 쓰면 $$ \begin{pmatrix} r_0' \\ u' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} s^2 & (s^2 - s^{4-d})B \\ 0 & s^{4-d} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_0 \\ u \end{pmatrix}$$ 이다. 이는 가우스 고정점 $\mu^\ast = (0,0,c)$ 근방에서 $\mu = (r_0, u, c)$가 재규격화를 거쳐 어떻게 변화해가는지를 선형적으로 기술한다.

고유값 분석을 해보면 첫 번째 고유값은 $s^{y_1} = s^2$으로 그에 해당하는 고유 벡터는 $\vec{e}_1 = \binom{1}{0}$인데, 이 고유값은 가우스 고정점으로 표현된 임계점의 축척 지수가 $\nu = 1/y_1 = 1/2$임을 의미한다. 외부 자기장은 $h' = h s^{\frac{1}{2} (d-\eta)+1}$로 재규격화되므로 $y_h = \frac{1}{2} (d-\eta) + 1$로서 축척 관계를 사용하면 모든 임계 지수를 구할 수 있다.

다른 한편으로, 두 번째 고유값은 $s^{y_2} = s^{4-d}$로 고유 벡터 $\vec{e}_2 = \binom{-B}{1}$에 대응된다. $s>1$일 것이므로, 이 고유값을 통해 가우스 고정점 $\mu^\ast$가 $d<4$에서는 불안정해진다는 사실을 확인할 수 있다. 따라서 방금 앞에서 구한 가우스 고정점의 임계 지수들은 $d>4$에서의 상전이를 기술한다.

입실론 전개

• Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena (Westview Press, 1976, 2000).