이 모형의 해밀토니안은 $p$-스핀 유리 모형과 같다. 단 한 가지 차이는, 이 모형에서는 스핀 변수가 $-\infty$부터 $\infty$까지 실수의 값을 가질 수 있다는 것이다.

복제 방법을 통한 정적 분석, 동역학적 분석, 그리고 TAP 방정식이라는 세 가지의 다른 방법을 사용해서 모형을 분석해보자.

$p=3$에서 하나의 분배함수를 무질서에 대해 평균한다면 다음처럼 계산된다: \begin{eqnarray*} \overline{Z} &=& \int D\sigma \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sigma_i \sigma_j \sigma_k \right]\\ &\approx& \int D\sigma \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \left( \sum_i \sigma_i^2 \right)^p \right]\\ &\sim& \exp \left[ N\frac{\beta^2}{4} \right] \Omega. \end{eqnarray*} 여기에서 $\Omega$는 구면 조건 $\sum_i \sigma_i^2 = N$에 의해 생기는 초구의 면적이다. 둘째 줄로 넘어올 때에 $$p! \sum_{i<j<k}^N \approx \sum_{ijk}^N$$ 의 근사를 사용했고, 적분의 결과로 나오는 계수는 생략했다. $\ln \overline{Z}$로 자유 에너지를 구하면, 이는 상호작용의 무질서가 열풀림(annealing) 과정 안에 있어 스핀과 같은 시간 척도에서 변화한다고 가정한 것에 대응된다.

담금질된(quenched) 무질서를 다루기 위해서는 $\overline{\ln Z}$이 필요하다. $n$개의 복제본에 대해 마찬가지의 계산을 수행하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \overline{Z^n} &=& \int D\sigma_i^n \prod_{i<j<k} \int dJ_{ijk} \exp \left[ -J_{ijk}^2 \frac{N^p}{p!} + \beta J_{ijk} \sum_{a=1}^n \sigma_i^a \sigma_j^a \sigma_k^a \right]\\ &\sim& \int D\sigma_i^a \prod_{i<j<k} \exp\left[ \frac{\beta^2 p!}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \sigma_i^a \sigma_i^b \sigma_j^a \sigma_j^b \sigma_k^a \sigma_k^b \right]\\ &\approx& \int D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2}{4N^{p-1}} \sum_{ab}^n \left( \sum_{i=1}^{N} \sigma_i^a \sigma_i^b \right)^p \right]\\ &\sim& \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} \exp [-N G(Q,\lambda)]. \end{eqnarray*} 여기에서 $Q$는 $Q^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이며, 마찬가지로 $\lambda$는 $\lambda^{ab}$를 원소로 가지는 $n\times n$ 행렬이다. $p$-스핀 유리 모형에서 했던 것처럼 이를 형태로 정리해서 적어보면 $$\overline{Z^n} \sim \int DQ^{ab} D\lambda^{ab} D\sigma_i^a \exp\left[ \frac{\beta^2 N}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p + N\sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} - \sum_i \sum_{ab} \lambda^{ab} \sigma_i^a \sigma_i^b \right].$$ 모든 복제본의 스핀 변수 $\{ \sigma_i^a \}$들에 대해 적분을 수행하면 (대각합의 역할) 다음의 결과를 얻는데 \begin{eqnarray*} \int D\sigma_i^a \exp \left( -\sum_i \sum_{ab} \sigma_i^a \lambda^{ab} \sigma_i^b \right) &=& \left[ \int D\sigma^a \exp \left( -\sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) \right]^N\\ &=& \left\{ (2\pi)^{n/2} \left[\det(2\lambda) \right]^{-1/2} \right\}^N, \end{eqnarray*} 왜냐하면 가우스 적분의 성질에 따라 다음 식이 성립하기 때문이다: $$\int D\sigma^a \exp \left( - \frac{1}{2} \sum_{ab} \sigma^a \lambda^{ab} \sigma^b \right) = \frac{(2\pi)^{n/2}}{\sqrt{\det \lambda}}.$$ 따라서 $$G(Q, \lambda) \approx -\frac{\beta^2}{4} \sum_{ab} \left(Q^{ab}\right)^p - \sum_{ab} \lambda^{ab} Q^{ab} + \frac{1}{2} \ln \det(2\lambda).$$ 안장점 근사를 사용하면 $\partial G/\partial Q^{ab} = 0$과 $\partial G/\partial \lambda^{ab} = 0$으로부터 각각 다음을 얻는다: \begin{eqnarray*} \lambda^{ab} &=& \frac{1}{2} \beta^2 p \left( Q^{ab} \right)^{p-1}\\ Q^{ab} &=& \left[(2\lambda)^{-1}\right]^{ab} = \frac{1}{2} \left(\lambda^{-1}\right)^{ab}. \end{eqnarray*} 단, $Q^{aa}$는 구면 조건에 의해 값이 $1$로 묶여 있다. 두 방정식을 $Q^{ab}$에 대해 정리하면 다음과 같다. $$\frac{1}{2}\beta^2 p \left(Q^{ab}\right)^{p-1} + \left( Q^{-1} \right)^{ab} = 0.$$

$Q$가 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q^{ab} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{if }a=b\\ q_0 & \text{otherwise.} \end{array} \right.$$ 그 역행렬은 다음처럼 주어진다: $$\left(Q^{-1}\right)^{ab} = \frac{1}{1-q_0} \delta_{ab} - \frac{q_0}{(1-q_0) \left[ 1+(n-1)q_0 \right]}.$$ 그러므로 $n\to 0$에서 $Q^{ab}$가 만족해야 할 식은 이렇다: $$\frac{1}{2} \beta^2 p q_0^{p-1} - \frac{q_0}{(1-q_0)^2} = 0.$$ 이 방정식에서 $q_0=0$는 언제나 해가 되며, 이는 앞에서 보았던 열풀림(annealed) 무질서의 경우와 같은 자유 에너지 $$F = - \lim_{n\to0} \frac{1}{2\beta n} \left[ \frac{\beta^2}{2} \sum_{ab} \left(Q^{ab} \right)^p+ \ln \det Q \right] = -\beta / 4$$ 를 준다. 즉 이는 고온의 상자성(paramagnetic) 상에 대응된다.

$\beta$가 충분히 커지면 $q_0 \neq 0$인 해가 나타난다. 그러나 그 점에서 헤세 행렬(hessian)을 구해보면 고윳값 중 음수가 존재하므로 이 답은 불안정한 것으로 판명된다.

복제 대칭성을 한번 깨뜨려서 행렬 $Q$가 예를 들어 각 그룹 안의 복제본 수가 $m=3$일 때 다음과 같은 구조를 가지고 있다고 하자: $$Q = \begin{pmatrix} 1 & q_1 & q_1 & & & & \\ q_1 & 1 & q_1 & & q_0 & & \cdots\\ q_1 & q_1 & 1 & & & & \\ & & & 1 & q_1 & q_1 & \\ & q_0 & & q_1 & 1 & q_1 & \\ & & & q_1 & q_1 & 1 & \\ & \vdots & & & & & \ddots \\ \end{pmatrix}.$$ 이때 $0\le q_0 \le q_1 \le 1$이고, $n\to0$인 극한에서 $0\le m \le 1$로서, $m$의 값은 최적화를 통해 찾아야 한다. 이제 $F$의 첫 번째 항을 계산해보면 $$\frac{1}{n} \sum_{ab} \left( Q^{ab} \right)^p = \frac{1}{n} \left[ n^2 q_0^p + (q_1^p-q_0^p) m^2 \left( \frac{n}{m} \right) + (1- q_1^p) n\right] \xrightarrow[n\to0]{}1+(m-1) q_1^p - mq_0^p.$$ 그리고 두 번째 항의 경우 행렬 $Q$의 고윳값 구조를 알아야 하는데, 고윳값들과 그것들의 겹침수가 다음과 같다: $$\begin{array}{ll} \mu_1 = 1-q_1 & \text{degeneracy } d_1 = n-n/m\\ \mu_2 = m(q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_2 = n/m-1\\ \mu_3 = nq_0 + m (q_1-q_0) + (1-q_1) & \text{degeneracy } d_3 = 1 \end{array}$$ 따라서 \begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \ln \det Q &=& \frac{1}{n} \left( d_1 \ln \mu_1 + d_2 \ln \mu_2 + d_3 \ln \mu_3 \right)\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{n} \right) \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right]\\ &=& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{1}{n} \left\{ \ln\left[ nq_0 + m(q_1-q_0) + (1-q_1) \right] - \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] \right\}\\ &\xrightarrow[n\to0]{}& \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)}. \end{eqnarray*} 따라서 \begin{eqnarray*} -2\beta F_\text{1RSB} &=& \frac{\beta^2}{2} \left[ 1+(m-1)q_1^p - mq_0^p \right] + \left(1-\frac{1}{m}\right) \ln \left(1-q_1\right) + \frac{1}{m} \ln\left[ m(q_1-q_0)+(1-q_1)\right] + \frac{q_0}{m(q_1-q_0)+(1-q_1)} \end{eqnarray*} 로서, 이 식은 $q_1\to q_0$ 또는 $m\to 1$인 극한에서 복제 대칭의 경우로 돌아간다.

$\partial F/\partial q_1 = 0$과 $\partial F/\partial m=0$으로부터 다음의 두 식을 얻는다: $$(1-m) \left\{ \frac{\beta^2}{2} p q_1^{p-1} - \frac{q_1}{(1-q_1)[(m-1)q_1+1]} \right\} = 0$$ $$\frac{\beta^2}{2} q_1^p + \frac{1}{m^2} \ln \left[ \frac{1-q_1}{1-(1-m)q_1} \right] + \frac{q_1}{m[1-(1-m)q_1]} = 0.$$

고온에서는 $q_1=0$만이 유일한 해가 되며($m$은 미정), 이는 상자성 상에 해당한다. 그러나 온도를 낮추어가면 어떤 온도 $T_s$에서 $q_1=q_s \neq 0$인 해가 등장한다 ($m=1$). 온도 $T_s$ 아래에서는 $q_1>q_s$이고 $m<1$이다.

만일 두 번 이상 복제 대칭성을 깨뜨려도 지금의 결과로 돌아오므로, 복제 방법 안에서 더 이상의 복제 대칭성 깨짐은 불필요함을 알 수 있다.

마틴-시지아-로즈 형식론으로부터 다음의 식을 얻었다: \begin{eqnarray*} \rho(x,t=n\Delta t) &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \delta(x-x_n) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1} \left\{ -Ik_i \left[ x_{i+1}-x_i-a(x_i) \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t k_{i+1}^2 \right\} \right) \rho(x_0,0). \end{eqnarray*} 이때 $\mathcal{N}$은 계수들을 모아서 쓴 것이다. 온도 $T$는 명시적으로 적지 않고 최종 결과에만 적을 것이다. 계의 상태 $x$가 여러 스핀 변수의 묶음으로 $\left\{\sigma_{j,i} \right\}$처럼 표현된다고 해보자. 앞의 인덱스 $j$는 스핀을 가리키고 뒤의 인덱스 $i$는 시간을 나타낸다(혼동을 피하기 위해 허수 $\sqrt{-1}$은 대문자 $I$로 적는다). 이에 대응되어 $k$에 해당하는 변수들은 $\left\{ \hat{\sigma}_{j,i} \right\}$로 표현한다. 계는 해밀토니안 동역학을 따라서, 스핀 $j$가 시간 $t_i = i\Delta t$에 받는 구동력이 다음처럼 주어진다: $$a_{j,i} = -\frac{\partial \mathcal{H} \left( \left\{\sigma_{j,i} \right\} \right)}{\partial \sigma_{j,i}} -\mu_i \sigma_{j,i} \approx \frac{p}{p!} \left( \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) -\mu_i \sigma_{j,i}.$$ 이때 $\mu_i$는 구면 조건을 만족하기 위해 도입한 라그랑주 곱수이다. 밀도함수의 정규화 조건은 다음과 같다: \begin{eqnarray*} 1 = Z &=& \int \left( \prod_j d\sigma_{j} \right) \rho\left(\left\{\sigma_{j,i} \right\}\right)\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i}-a_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \rho_0\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod d\sigma_{j,i} \right) \left(\prod d\hat{\sigma}_{j,i} \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 \right\} \right) \exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=1}^N \sum_{k=1}^N \sum_{l=1}^N J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right) \rho_0. \end{eqnarray*} 무질서에 대한 평균은 마지막의 지수함수에만 적용된다. $\hat{\sigma}\sigma^{p-1}$을 대칭화해서 $p$개의 항으로 풀어서 적는 것이 편리하다. \begin{eqnarray*} e^{S} = \overline{\exp \left( -\Delta t\frac{Ip}{p!} \sum_i \sum_{jkl} J_{jkl} \hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{k,i} \sigma_{l,i} \right)} &=& \prod_{j>k>l} \int dJ_{jkl} \exp\left\{ -\frac{1}{2p!} J_{jkl}^2 2N^{p-1} - J_{jkl} \Delta t \sum_i \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \right\}\\ &=& \prod_{j>k>l} \sqrt{\frac{\pi N p!}{N^p}} \exp\left\{ \frac{p! \Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\ &=& \mathcal{N} \prod_{jkl} \exp\left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ I\hat{\sigma}_{j,i}\sigma_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}I\hat{\sigma}_{k,i}\sigma_{l,i} + \sigma_{j,i}\sigma_{k,i}I\hat{\sigma}_{l,i} \right] \left[ I\hat{\sigma}_{j,i'}\sigma_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}I\hat{\sigma}_{k,i'}\sigma_{l,i'} + \sigma_{j,i'}\sigma_{k,i'}I\hat{\sigma}_{l,i'} \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ 3\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) + 6\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right) \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4N^{p-1}} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'} \right)^{p-1} + p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) \left( \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'} \right) \left( \sum_l \sigma_{l,i} \sigma_{l,i'} \right)^{p-2} \right] \right\}. \end{eqnarray*} 여기서도 $\mathcal{N}$은 그때 그때 계수들을 합쳐서 적어놓은 것이다. 복제본 계산에서는 복제본 사이의 중첩(overlap)이 나타났다면 동역학적 분석에서는 다른 시간 $i$와 $i'$ 사이의 중첩이 나타남에 유의.

상관함수를 아래처럼 적도록 하자. (상관함수가 존재한다는 것은, 이 우변에 무질서 평균과 열적 평균을 취한 기댓값이 잘 정의되어 우변을 계산한 결과가 그 기댓값으로 잘 표현될 것이라는 뜻이다. 그래서 우변에 대응하는 보조장을 먼저 도입한 다음 그 보조장의 기댓값을 구하는 순서를 선호하는 저자들도 있다.) $$C(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} \sigma_{k,i'}.$$ 그리고 마틴-시지아-로즈 형식론에 따라, 아래의 양이 마찬가지 의미에서 반응함수에 해당함을 알 수 있다: $$R(i,i') = \frac{1}{N} \sum_k \sigma_{k,i} I\hat{\sigma}_{k,i'}.$$ 이 반응함수는 인과성(causality) 때문에 $i>i'$에서만 유의미한 값을 주는데, 위의 유도과정에서는 $i$와 $i'$이 대칭적으로 다루어지고 있으므로, 이 반응함수를 써서 다시 적는다면 $i>i'$에서 $R(i,i')$으로 한번, $i<i'$에 $R(i',i)$로 한번, 이렇게 총 두 번이 계산되고 있는 셈이다. \begin{eqnarray*} e^{S} &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2}{4} \sum_{i,i'} \left[ p\left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2p(p-1) \left( \sum_j I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\}\\ &=&\mathcal{N} \exp \left\{ \frac{\Delta t^2 p}{4} \sum_j \sum_{i,i'} \left[ \left( I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} \right) C^{p-1}(i,i') + 2(p-1) \left( I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right) R(i,i') C^{p-2}(i,i') \right] \right\} \end{eqnarray*}

정리하면 \begin{eqnarray*} \overline{Z} &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \mu_i \sigma_{j,i} \Delta t \right] - \frac{1}{2} \Delta t \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t^2 \left[ \frac{p}{4} C^{p-1} I\hat{\sigma}_{j,i} I\hat{\sigma}_{j,i'} + \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} I\hat{\sigma}_{j,i} \sigma_{j,i'} \right] \right\} \right) \rho_0\\ &=& \mathcal{N} \int \left(\prod_{i=0}^{n-1} dx_i \right) \left(\prod_{i=0}^{n-1} dk_i \right) \exp\left(\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^N \left\{ -I\hat{\sigma}_{j,i} \left[ \sigma_{j,i+1}-\sigma_{j,i} + \left( \mu_i \sigma_{j,i} - \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{2} (p-1) R C^{p-2} \sigma_{j,i'} \right) \Delta t \right] - \Delta t \left[ \frac{1}{2} \hat{\sigma}_{j,i+1}^2 + \sum_{i'=0}^{n-1} \Delta t \frac{p}{4} C^{p-1} \hat{\sigma}_{j,i} \hat{\sigma}_{j,i'} \right] \right\} \right) \rho_0. \end{eqnarray*} 이에 해당하는 유효(effective) 랑주뱅 방정식은 다음과 같은 꼴이 된다: \begin{eqnarray*} \partial_t \sigma(t) &=& -\mu(t) \sigma(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') \sigma(t') + \xi(t) + \eta(t)\\ \langle \eta(t) \eta(t') \rangle &=& 2T \delta(t-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t,t') \equiv D(t, t'). \end{eqnarray*} 여기에서 $\xi$는 외부로부터 오는 섭동을 손으로 써 넣은 것이고 $\eta$는 재규격화된 잡음이다. 이러한 풀이는 각각의 스핀들을 독립적으로 다루기 때문에 인덱스 $j$ 없이 일체(one-body) 문제로 다룰 수 있지만, 대신에 기억 효과(memory effect)와 잡음간의 상관관계를 도입한다. 또 이 식은 과냉각 액체의 모드 결합 이론(mode-coupling theory)에서 얻어내는 방정식과 같기 때문에 스핀 유리와 구조적 유리(structural glass) 사이에 깊은 연관 관계가 있음을 함축한다.

평균하여 $\langle \sigma(t) \rangle = M(t)$의 시간 변화를 적어보자: \begin{eqnarray*} \partial_t M(t) = -\mu(t) M(t) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^t dt' R(t,t') C^{p-2}(t,t') M(t') + \xi(t). \end{eqnarray*} 스핀을 한번 곱한 다음 평균하여 상관함수의 시간 변화를 적어보면 아래와 같고 \begin{eqnarray*} \frac{\partial C(t_1, t_2)}{\partial t_1} &=& \frac{\partial}{\partial t_1} \Bigl< \sigma(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = \Bigl< \dot{\sigma}(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> = -\mu(t_1) C(t_1, t_2) + \frac{1}{2} p(p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t_1, t') C^{p-2}(t_1, t') C(t_2, t') + \xi(t_1) \Bigl< \sigma(t_2) \Bigr> + \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> \end{eqnarray*} 여기에서 $\langle \ldots \rangle$은 잡음 $\eta$에 대한 평균이다. 우변의 마지막 항은 아래처럼 표현된다: \begin{eqnarray*} \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') D(t_1,t')\\ &=& \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') \left[ 2T\delta(t_1-t') + \frac{p}{2} C^{p-1} (t_1,t') \right]\\ &=& 2TR(t_2,t_1) + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{t_2} dt' R(t_2,t') C^{p-1} (t_1,t'). \end{eqnarray*}

그 이유는 다음처럼 설명할 수 있다. $t_2 = n\Delta t$라고 할 때, $\sigma(t_2) \equiv \sigma_n$는 그 앞에 발생했던 잡음 $\eta_i$들에 의존할 것이다 ($i<n$). 편미분의 성질에 따라 \begin{eqnarray*} \sigma_n &\approx& \left. \sigma_n \right|_{\forall \eta_i=0} + \sum_{i<n} \eta_i \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0}. \end{eqnarray*} 양변에 $t_1 = m\Delta t$에서의 잡음 $\eta_m$을 곱하면 ($m<n$), \begin{eqnarray*} \eta_m \sigma_n &\approx& \left. \eta_m \sigma_n \right|_{\forall \eta_i=0} + \sum_{i<n} \eta_m \eta_i \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0}. \end{eqnarray*} 여기에 잡음에 대한 평균을 취하면 $\langle \eta_i \rangle = 0$이므로 살아남는 항은 \begin{eqnarray*} \langle \eta_m \sigma_n \rangle &\approx& \sum_{i<n} \langle \eta_m \eta_i \rangle \Bigl< \left.\frac{\partial \sigma_n}{\partial \eta_i} \right|_{\forall \eta_i=0} \Bigr>. \end{eqnarray*} $t' \equiv i\Delta t$라 하고 연속 국한을 취하면 \begin{eqnarray*} \Bigl< \eta(t_1) \sigma(t_2) \Bigr> &\approx& \int_{-\infty}^{t_2} dt' D(t_1,t') R(t_2,t'). \end{eqnarray*} 본래 반응 함수는 $\xi_i$ 부분에 섭동을 가한 결과로 정의되었다. $\xi_i$를 건드릴 때와 $\eta_i$를 건드릴 때의 차이라면, 후자의 경우 경로가 생성될 확률까지 영향을 받는다는 점일 텐데, $\eta_i\to 0$에서 계산할 때에 그 차이는 무시할 수 있다.

$\xi(t) = \xi$로 일정하게 두어 평형에 도달한 상태에서 $\mu(t) = \mu$과 $\langle \sigma(t) \rangle = M$으로서 각각이 시간에 의존하지 않는 상수라고 하자. 시간 병진 불변성(time translation invariance)이 있어서 $R(t_1,t_2) = R(t_1-t_2)$, 그리고 $C(t_1,t_2) = C(t_1-t_2) = C(t_2 - t_1)$이라고 하자. 일반성을 잃지 않고 $t_1\equiv t>0$와 $t_2\equiv 0$으로 놓자. 모든 시간에서 평형이기 때문에 $M$은 시간에 무관하지만 상관함수 $C(t)$와 반응함수 $R(t)$는 기준점 $t_2=0$로부터의 시간 차이 $t$에 의존한다. 당연히 $C(0)=1$이고 $\lim_{t\to\infty} C(t) =q$로 수렴한다고 가정할 것이다. 덧붙여 평형 상태에서는 요동-흩어지기 정리의 결과로서 다음 관계가 성립한다(Sethna): $$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} R(t).$$

평형상태에서 먼저 $M$에 대한 식은 아래와 같이 정리된다. \begin{eqnarray*} 0 &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1) M\int_{-\infty}^t dt' R(t-t') C^{p-2}(t-t') + \xi\\ &=& -\mu M + \frac{1}{2}p(p-1)M\int_{-t}^{\infty} dt' R(t+t') C^{p-2}(t+t') + \xi\\ &=& -\mu M - \frac{p \beta}{2} M\int_{-t}^{\infty} dt' \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') + \xi\\ &=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left[ C^{p-1}(0) - C^{p-1}(\infty) \right] + \xi\\ &=& -\mu M + \frac{p \beta}{2} M \left(1-q^{p-1}\right) + \xi\\ \end{eqnarray*} $C(t)$에 대한 식은 아래와 같다: \begin{eqnarray*} \partial_t C(t) &=& -\mu C(t) + \frac{p}{2} (p-1) \int_{-\infty}^{t_1} dt' R(t- t') C^{p-2}(t- t') C(- t') + \frac{p}{2} \int_{-\infty}^{0} dt' R(-t') C^{p-1} (t-t') + \xi M + 2TR(-t). \end{eqnarray*} 인과성에 의해 우변 마지막 항의 $R(-t)=0$이다. $\int_{-\infty}^t$를 $\int_{-\infty}^0 + \int_0^t$로 쪼개어 표현하기 위해 아래의 식을 정의하자: \begin{eqnarray*} I(t) &\equiv& \int_{-\infty}^0 dt' \left[ (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') + R(-t') C^{p-1}(t-t') \right]\\ &=& \int_0^{\infty} dt' \left[ (p-1) R(t+t') C^{p-2}(t+t') C(t') + R(t') C^{p-1}(t+t') \right]\\ &=& \int_0^{\infty} dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C^{p-1}(t+t') \right] C(t') + \int_0^{\infty}dt' R(t') C^{p-1}(t+t')\\ &=& \beta \left[ -q^p + C^{p-1}(t) \right] + \int_0^{\infty} dt' \beta C^{p-1}(t+t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^{\infty}dt' \left[ -\beta \partial_{t'} C(t') \right] C^{p-1}(t+t')\\ &=& \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]. \end{eqnarray*} $\int_0^t$를 위해 아래 두 개의 항등식을 유도해놓자: \begin{eqnarray*} \beta^{-1} \int_0^t dt' (p-1) R(t-t') C^{p-2}(t-t') C(-t') &=& \int_0^t \left[ \frac{\partial}{\partial t'} C^{p-1} (t-t') \right] C(t')\\ &=& C^{p-1}(0) C(t) - C^{p-1}(t)C(0) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\ &=& C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t')\\ \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') &=& C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t') = C^{p-1}(t) \left[ C(t) - C(0) \right] = C^p(t) - C^{p-1}(t). \end{eqnarray*} 이제 모아서 적어보면, \begin{eqnarray*} \partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p \beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') \right] + \xi M + 2TR(-t)\\ &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^{p-1}(t) - \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t') + \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t') - \left[ C^p(t) - C^{p-1}(t) \right] \right\} + \xi M\\ &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} + \xi M. \end{eqnarray*}

$t=0$에서 $C(t)$의 시간 변화를 고려하자. $\left.\partial_t C(t) \right|_{t=0} = -\beta^{-1}$와 $I(t) - I(0) = \beta \left[ C^{p-1}(t) - C(0) \right]$를 활용하면, $$-\beta^{-1}+\mu = \frac{p}{2} I(0) + \xi M = \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right] + \xi M.$$ $t=0$을 대입해 유도했을 뿐, 이 관계식 자체는 모든 $t$에서 성립하는 정확한 식이라는 데 유의한다. 이를 $\xi M$에 대해 정리한 다음 $C(t)$의 식에 대입하면 \begin{eqnarray*} \partial_t C(t) + \mu C(t) &=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \beta^{-1} I(t) + C(t) - C^p(t) - \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left[ \beta^{-1} I(t) + 1 - C^{p-1}(t) \right]\\ -\partial_t C(t) + \mu \left[ 1-C(t) \right] - \frac{p\beta}{2} \left[ 1-C(t) \right] \left[ 1 - C^{p-1}(t) \right]&=& \frac{p\beta}{2} \left\{ \int_0^t dt' \left[ C^{p-1}(t-t') - C^{p-1}(t) \right] \partial_{t'} C(t') \right\} +\beta^{-1}. \end{eqnarray*}

이제 위의 식에서 $t\to\infty$일 때를 고려하는데, 가정상 $C(t) \to q$로 수렴하기 때문에 $\partial_t C(t) = 0$이다. 우변의 적분은 무시할 수 있는데, $t'$이 작을 때에는 $C^{p-1}(t-t') \approx C^{p-1}(t)$이고 $t'$이 클 때에는 $\partial_{t'} C(t') \approx 0$일 것이기 때문이다. 따라서 \begin{eqnarray*} &&\mu(1-q) - \frac{p\beta}{2} (1-q)\left(1-q^{p-1}\right) = \beta^{-1}\\ &&\mu = \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\ \end{eqnarray*} 이 식을 사용하면 $\mu$를 소거할 수 있게 된다. 예를 들어 앞에서 $M$에 대한 식으로부터 얻었던 관계는 다음처럼 간단해진다: \begin{eqnarray*} \frac{\xi}{M} &=& \mu - \frac{p\beta}{2} \left( 1-q^{p-1} \right) = \frac{\beta^{-1}}{1-q}\\ M &=& \beta\xi (1-q). \end{eqnarray*}

마지막으로, 앞에서 구했던 $I(t) = \beta \left[C^{p-1}(t) - q^p \right]$를 “정확한” 관계식에 대입하면 \begin{eqnarray*} -\beta^{-1} + \mu &=& \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right) + \xi M\\ \xi M &=& -\beta^{-1} + \mu - \frac{p\beta}{2} \left(1-q^p \right)\\ \beta \xi^2 (1-q) &=& -\beta^{-1} + \left[ \frac{p\beta}{2} \left(1-q^{p-1}\right) + \frac{\beta^{-1}}{1-q} \right] - \frac{p\beta}{2} + \frac{p\beta}{2} q^p\\ &=& -\beta^{-1} + \frac{\beta^{-1}}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} + \frac{p\beta}{2} q^p\\ &=& \beta^{-1}\frac{q}{1-q} - \frac{p\beta}{2} q^{p-1} (1-q)\\ \beta^2 \xi^2 &=& \frac{q}{(1-q)^2} - \frac{p\beta^2}{2} q^{p-1}. \end{eqnarray*} $\xi\to0$에서 이 식은 복제 대칭해에서 구한 결과와 일치한다.

$\xi=M=0$에서 $q=0$이 해가 되므로 이 값들을 대입하고 정리하면 $$\partial_t C(t) = -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t-t') \partial_{t'} C(t').$$ $0 < C(t) < 1$이고 $\partial_{t'} C(t') \le 0$이라고 가정하자. $0<t'<t$일 때에 $C(t) \le C(t-t')$이므로 \begin{eqnarray*} 0 \ge \partial_t C(t) &\ge& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} \int_0^t dt' C^{p-1}(t) \partial_{t'} C(t')\\ &=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \int_0^t dt' \partial_{t'} C(t')\\ &=& -\beta^{-1} C(t) - \frac{p\beta}{2} C^{p-1}(t) \left[ C(t) - 1 \right]. \end{eqnarray*} 따라서 다음과 같은 부등식을 얻는다: $$g[C(t)] \equiv C^{p-2}(t) \left[ 1-C(t) \right] \le \frac{2}{p\beta^2}.$$ 함수 $g(C)$는 $0<C<1$에서 최댓값을 가지는데, 그 위치는 아래와 같다: $$C = q_d \equiv \frac{p-2}{p-1}.$$ $\beta$가 작을 때에는 $\beta^{-2}$이 충분히 크기 때문에 이 부등식을 만족하는 데 문제가 없지만, $\beta$가 커지면 부등식이 깨지게 된다. 구체적으로 $g(q_d) = 2/(p\beta_d^2)$일 때에, 즉 $$\beta_d = \sqrt{\frac{2(p-1)^{p-1}}{p(p-2)^{p-2}}}$$ 일 때에 $0 \ge \partial_t C(t) \ge 0$로 $\partial_t C(t) = 0$이어야 한다는 결론을 얻기 때문에 상관함수는 시간이 지나도 줄어들지 않은 채 $0$이 아닌 값 $q_d$로 고정되며, 이는 계의 에르고드 성질(ergodicity)이 깨짐을 의미한다. 이러한 동적 상전이의 온도 $T_d \equiv 1/ \beta_d$는 앞의 정적 분석에서 얻었던 $T_s$보다 일반적으로 크다. 이는 동역학적 분석이 준안정(metastable) 상태들의 존재에도 영향을 받기 때문이다.

TAP 방정식을 통해 아래의 TAP 자유 에너지 밀도를 얻을 수 있다: $$f_\text{TAP} = -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q) - \frac{\beta}{4} \left[ (p-1) q^p - pq^{p-1} +1 \right].$$ 이때 $m_i\equiv \langle \sigma_i \rangle$이고 $q\equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이다. 우변 첫 번째 항은 에너지, 두 번째 항은 엔트로피에 온도를 곱한 양, 세 번째 항은 소위 온사거 반응 항이다.

이제 $m_i \equiv \sqrt{q} s_i$로 고쳐 적으면 $\sum_i s_i^2 = N$을 만족한다. 이 $s_i$는 각변수(angular variable)로 불리며, 원래의 스핀 변수 $\sigma_i$와 다르지만 비슷한 역할을 하고 동일한 구면 조건을 만족한다. 이 새로운 변수로 적은 자유 에너지 밀도는 아래와 같다: $$f_\text{TAP} = \frac{1}{N} q^{p/2} H \left(s_1, \ldots, s_N\right) + R(q,\beta).$$ $H$는 원래의 해밀토니안이고 $R$은 식 중에서 $q$에 의존하는 항들이다. 이 자유 에너지 밀도를 $s_i$와 $q$에 대해 최소화해보면 다음의 두 방정식을 얻는다: \begin{eqnarray*} \frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial s_i} &=& \frac{\partial}{\partial s_i} H(s_1, \ldots, s_N)= 0\\ \frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial q} &=& \frac{1}{N} \frac{p}{2} q^{p/2-1} H(s_1, \ldots, s_N) + \frac{\partial R}{\partial q} = 0. \end{eqnarray*} 앞의 방정식은 온도에 의존하지 않으며, $H$ 자체의 최소화와 일치한다. 이 $N$개의 방정식을 모두 풀어 $(s_1^\alpha, \ldots, s_N^\alpha)$를 구하면 바닥 상태의 에너지 $E_\alpha = H\left(s_1^\alpha, \ldots, s_N^\alpha \right)$를 알 수 있다. 이를 $q$에 대한 두 번째 방정식에 대입하면 바닥 상태 에너지 $E_\alpha$와 온도 $\beta$의 함수로서 $q$를 얻는다. 일반적으로 자유 에너지의 최소는 해밀토니안의 최소와 일치하지 않지만, 이 모형은 예외적으로 둘이 동등하다.

이제 $E = H(s_1, \ldots, s_N)$에 대해 TAP 자유 에너지 밀도를 아래처럼 적고, $$f_\text{TAP} = q^{p/2} E - \frac{T}{2} \ln (1-q) - \frac{1}{4T} \left[(p-1) q^p - pq^{p-1} + 1 \right]$$ \begin{eqnarray*} 0 = \frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial q} &=& \frac{\partial}{\partial q} \left\{ q^{p/2} E - \frac{T}{2} \ln (1-q) - \frac{1}{4T} \left[(p-1) q^p - pq^{p-1} + 1 \right] \right\}\\ &=& \frac{p}{2} q^{p/2-1} E + \frac{T/2}{1-q} - \frac{1}{4T} \left[ p(p-1) q^{p-1} - p(p-1) q^{p-2} \right]\\ \end{eqnarray*} $z \equiv (1/T) (1-q) q^{p/2-1}$을 정의한 다음 위 식을 정리해서 적어보면 $z$에 대한 이차방정식이다: $$0 = pzE + 1 + \frac12 z^2 p(p-1).$$ 이를 풀고 $f_\text{TAP}$을 최소화하는 해를 고르면 $$z = \frac{-E - \sqrt{E^2 - E_c^2}}{p-1}$$ 으로서 $E_c \equiv -\sqrt{2(p-1)/p}$이다.

$E=E_c$일 때 $z^2 = E_c^2/(p-1)^2$이고, 이를 $z^2 = (1/T^2) (1-q)^2 q^{p-2}$와 같게 놓으면 다음의 식을 얻는다: $$q_c^{p-2} (1-q_c)^2 = T^2 \frac{2}{p(p-1)}.$$ 앞의 동역학적 분석에 따르면 동적 상전이가 일어나는 온도 $T_d = 1/\beta_d$는 다음의 식을 만족한다: $$T_d^2 = \frac{p(p-2)^{p-2}}{2(p-1)^{p-1}}.$$ 따라서 온도 $T=T_d$에서 $E=E_c$로 놓으면 다음처럼 $q_c = q(E_c,T_d)$에 대한 방정식을 얻는데 $$q_c^{p-2} (1-q_c)^2 = \frac{(p-2)^{p-2}}{(p-1)^p}$$ 이 방정식의 해가 앞에서 얻었던 상관함수의 수렴 값인 $q_d$로서, 즉 $q_c(T_d) = q_d \equiv (p-2)/(p-1)$이다. 따라서 온도 $T_d$에서 동적 상전이가 일어날 때 상관함수의 거동을 보면, $E=E_c$인 문턱 상태에서의 자기 중첩(self-overlap)인 $q_c$와 같은 값으로 수렴함을 보게 된다. 이 상태들이 동역학을 가둠으로써 평형으로의 완화 과정을 가로막는다.

$H$의 극소점들의 수 $\mathcal{N}$이 계의 크기 $N$에 대해 다음처럼 거동한다고 하자: $$\mathcal{N} \sim e^{N\Sigma}.$$ 이 $\Sigma$를 복잡도(complexity)라고 부른다. $m \equiv (m_1,\ldots, m_N)$에 대해 $\nabla_m f_\text{TAP} = 0$를 풀었을 때의 해를 $m^\alpha = \left( m_1^\alpha, \ldots, m_N^\alpha \right)$라고 부르자. 여기에는 극소점뿐 아니라 안장점 같은 것들도 잡히고 있으므로 전체 $\mathcal{N}'$개의 해가 존재한다고 하자. $N$차원의 디락 델타 함수를 통해 아래처럼 적을 수 있는데 $$\mathcal{N}' = \int Dm \sum_{\alpha=1}^{\mathcal{N}'} \delta(m - m^\alpha)$$ TAP 방정식 $\mathcal{T}_i \equiv N\partial f_\text{TAP}/\partial m_i = 0$을 $m = m^\alpha$ 근처에서 일차항까지 전개한다고 하면 다음처럼 쓸 수 있고 $$0 = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_i} \approx N\sum_{j=1}^N\left.\frac{\partial}{\partial m_j}\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_i}\right|_{m=m^\alpha} \left(m_j - m_j^\alpha \right),$$ $f_\text{TAP}$의 헤세 행렬(Hessian)을 $\mathcal{A} = \left\{ \mathcal{A}_{ij} \equiv N\partial^2 f_\text{TAP}/(\partial m_i \partial m_j) \right\}$로 표기하면, 이는 다음과 같은 선형 방정식으로 표현된다: $$\left. \mathcal{A}^\intercal \right|_{m=m^\alpha} \left(m - m^\alpha \right) = 0.$$ 따라서 디락 델타 함수의 성질상 다음을 얻는다: $$\delta \left( N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) = \sum_\alpha \frac{\delta(m - m^\alpha)}{\left| \det \mathcal{A}(m^\alpha) \right|}.$$ 이제 $\mathcal{N}'$의 식을 다시 적으면 $$\mathcal{N}' = \int Dm ~\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \left| \det \mathcal{A}(m) \right|$$ 로서, $\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right)$ 덕분에 $\lvert \det \mathcal{A}(m) \rvert$가 $m^\alpha$의 위치들에서만 계산될 것이다. 절댓값 기호는 다루기가 불편하므로, 우리는 자유 에너지 밀도 $f$에 제한을 걸어 다음처럼 정의된 양을 다룬다: $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$ $f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 행렬식(determinant) 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, 행렬식 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다.

디락 델타 함수의 적분 표현을 도입하고 $$\prod_i \delta(X_i) = \int \frac{D\lambda}{(2\pi)^N} \exp\left( -i \sum_{i=1}^N \lambda_i X_i \right)$$ $$\delta\left( Nf_\text{TAP} - Nf \right) = \int \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[ -i \omega N(f_\text{TAP} - f) \right]$$ 행렬식의 계산은 $\{\bar{\psi}_i, \psi_i\} = 0$을 만족하는 그라스만 변수의 적분 표현으로 나타낸다: $$\det A = \int D\bar{\psi} D\psi \exp\left( -\sum_{ik}^N \bar{\psi}_i A_{ik} \psi_k \right).$$ 이때 $D\bar{\psi}D\psi \equiv d\bar{\psi}_1 d\psi_1 \ldots d\bar{\psi}_N d\psi_N$이다. 그러면 \begin{eqnarray*} \mathcal{N} (f) &\approx& \int Dm \frac{D\mathbf{\lambda}}{(2\pi)^N} D\bar{\psi} D\psi \frac{d\omega}{2\pi} \exp\left[-\mathcal{S}_J\left(m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega\right) \right] \end{eqnarray*} 로서 작용 $\mathcal{S}_J$는 다음처럼 정의된다: $$\mathcal{S}_J (m,\lambda,\bar{\psi},\psi, \omega) \equiv \sum_{k=1}^N i \lambda_k \mathcal{T}_k + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + i\omega N\left( f_\text{TAP} - f \right).$$

우리는 $\mathcal{N}$ 자체가 아니라 $\ln \mathcal{N}$의 무작위 평균을 취해야 하므로 복제 방법을 사용하도록 한다. 복제본의 수는 $n$개이고, 복제본을 가리키기 위한 인덱스는 $a=1,\ldots,n$이다. 복제본까지 포함하여 전체 작용을 적으면 $$\tilde{\mathcal{S}}_J = \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{j,k=1}^N \bar{\psi}^a_j \mathcal{A}_{jk}\left(m^a\right) \psi^a_k + i\omega^a N\left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\}.$$

어떤 그라스만 변수 $\epsilon$이 있다고 했을 때, 위의 작용 $\mathcal{S}$에 다음과 같은 변환을 취하고 \begin{eqnarray*} m_i &\to& m_i + \epsilon \psi_i\\ \bar{\psi}_i &\to& \bar{\psi}_i - i\epsilon \lambda_i\\ \lambda_i &\to& \lambda_i - \omega \epsilon \psi_i\\ \psi_i &\to& \psi_i\\ \omega &\to& \omega. \end{eqnarray*} 이 변환에 따른 $\mathcal{S}$의 변화량을 적어보자: \begin{eqnarray*} \delta S &=& \sum_k \left(i \delta \lambda_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( \delta\bar{\psi}_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \delta \mathcal{T}_k\right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega N\delta f_\text{TAP}\\ &=& \sum_k \left(-i\omega \epsilon \psi_k \mathcal{T}_k + i\lambda_k \sum_l \mathcal{A}_{kl} \epsilon \psi_l \right) + \sum_{jk} \left( -i\epsilon \lambda_j \mathcal{A}_{jk} \psi_k + \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k \right) + i\omega \sum_k \mathcal{T}_k \epsilon \psi_k. \end{eqnarray*} 이때 $\delta \mathcal{A}_{jk} = \sum_l \left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l\right) \epsilon \psi_l$ 이므로 $$\sum_k \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = \sum_{kl} \frac{\partial \mathcal{A}_{jk}}{\partial m_l} \epsilon \psi_l \psi_k$$ 인데, $\left(\partial \mathcal{A}_{jk}/\partial m_l \right) \psi_l \psi_k = \left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_l \psi_k = -\left(\partial \mathcal{A}_{jl}/\partial m_k \right) \psi_k \psi_l$이므로 $\sum_{jk} \bar{\psi}_j \delta \mathcal{A}_{jk} \psi_k = 0$이다. 나머지 항들은 서로 상쇄되므로 $\delta \mathcal{S} = 0$으로서, 결론적으로 작용 $\mathcal{S}$는 위 변환에 대해 불변량이다. 복제본들을 포함한 $\tilde{\mathcal{S}}$을 생각하면, 각 복제본마다 위 변환을 취했을 때에 마찬가지로 불변량이다. 이는 베키-루에-스토라-튜틴(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin, BRST) 대칭성의 한 예이다.

이제 연산자 $O \equiv m^b \bar{\psi}^a = \sum_k m^b_k \bar{\psi}^a_k$를 생각하고 위 변환을 취해보면, 작용이 불변하므로 대칭성이 자발적으로 깨지지 않는 한 연산자의 기댓값 역시 변하지 않을 것이다: $0 = \langle \delta O \rangle = \langle \epsilon \psi^b \bar{\psi}^a \rangle + \langle m^b (-i\epsilon \lambda^a) \rangle$. 따라서 $$\langle \psi^b \bar{\psi}^a \rangle = - \langle \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = i\langle m^b \lambda^a \rangle.$$ 이번에는 $O \equiv \lambda^b \bar{\psi}^a$로 놓으면, $0 = \langle \delta O \rangle = \langle (-\omega^b \epsilon \psi^b) \bar{\psi}^a \rangle + \langle \lambda^b (-\epsilon \lambda^a) \rangle$로부터 $$\langle \omega^b \bar{\psi}^a \psi^b \rangle = \langle \lambda^a \lambda^b \rangle.$$ 앞으로 복제본에 상관없이 $\omega^b = \omega$라고 놓도록 하자.

먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자: \begin{eqnarray*} f_\text{TAP}(m^a) &=& -\frac{1}{N} \sum_{i_1<\ldots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a)\\ &\approx& -\frac{1}{Np!} \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a - \frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a). \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \mathcal{T}_k (m^a) = N\frac{\partial f_\text{TAP}}{\partial m_k^a} &=& -\sum_{i_2<\ldots<i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ &=& -\frac{1}{(p-1)!} \sum_{i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + 2m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ \sum_k \lambda_k \mathcal{T}_k &=& -\frac{p}{p!} \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \sum_k 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \mathcal{A}_{kl} (m^a) &=& N\frac{\partial^2 f_\text{TAP}}{\partial m_k^a \partial m_l^a} = \frac{\partial}{\partial m_k^a} \mathcal{T}_l (m^a) = -\sum_{i_3<\ldots<i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \frac{\partial}{\partial q^a} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]\\ &=& -\frac{1}{(p-2)!} \sum_{i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2\delta_{kl} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] + \frac{4 m_k^a m_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right]\\ \end{eqnarray*} 여기에서 $1/N$을 포함하는 마지막 항은 $N\to\infty$에서 무시하는 것이 일반적이나 여기에는 대가가 따르니 주의한다(Aspelmeier et al. (2004)과 Parisi (2006)). \begin{eqnarray*} \sum_{kl} \bar{\psi}_k^a \mathcal{A}_{kl} \psi_l^a &\approx& -\frac{p(p-1)}{p!} \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + 2 \sum_k \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right]. \end{eqnarray*}

결합상수의 무작위성에 대해 평균을 취하여 복잡도를 계산해보자: $$\Sigma(f) = \lim_{n\to0} \frac{1}{nN} \ln \int Dm D\lambda D\bar{\psi} D\psi ~d\omega ~\overline{\exp\left[-\tilde{\mathcal{S}}_J (m, \lambda, \bar{\psi}, \psi, \omega) \right]}.$$ 먼저 작용을 결합상수를 포함하지 않는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)}$과 포함하는 부분 $\tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)}$로 나누고 \begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{S}}_J &=& \sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} = \tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} + \tilde{\mathcal{S}}_J^{(1)} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J^{(0)} \right] &=& \exp \left\{ -2i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \overline{\exp\left[ -\tilde{\mathcal{S}}_J \right]} &=& \overline{ \exp \left[-\sum_{a=1}^n \left\{ \sum_{k=1}^N i \lambda^a_k \mathcal{T}_k \left(m^a\right) + \sum_{k,l=1}^N \bar{\psi}^a_k \mathcal{A}_{kl}\left(m^a\right) \psi^a_l + i\omega N \left[ f_\text{TAP} \left(m^a\right) - f \right] \right\} \right]}\\ &=& \exp \left\{ -i\sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N 2 \lambda_k^a m_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - \sum_{a=1}^n \sum_{k,l=1}^N \frac{4 m_k^a m_l^a \bar{\psi}_k^a \psi_l^a}{N} \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)^2} + g''(q^a) \right] - 2 \sum_{a=1}^n \sum_{k=1}^N \bar{\psi}_k^a \psi_k^a \left[ \frac{1}{2\beta(1-q^a)} + g'(q^a) \right] - i \omega N \sum_{a=1}^n \left[ -\frac{1}{2\beta} \ln(1-q^a) + g(q^a) -f\right] \right\} \\ &&\times \overline{\exp \left[ \sum_{k,i_2,\ldots,i_p} J_{ki_2\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_k^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{k,l,i_3,\ldots,i_p} J_{kli_3\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_k^a \psi_l^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ \end{eqnarray*} 결합상수를 포함한 부분만을 뽑아서 적어보면: \begin{eqnarray*} &&\overline{\exp \left[ \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a \right) + \sum_{i_1,\ldots,i_p} J_{i_1 \ldots i_p} \left( \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ &=& \overline{\prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]}\\ &=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \int dJ_{i_1\ldots i_p} \exp\left( -J_{i_1\ldots i_p}^2 \frac{N^p}{p!} \right) \exp \left[ J_{i_1\ldots i_p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right) \right]\\ &\propto& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{p!}{4N^p} \left( \frac{ip}{p!}\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{p(p-1)}{p!} \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + \frac{i\omega}{p!} \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ &=& \prod_{i_1,\ldots,i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p p!} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ &\approx& \prod_{i_1<\ldots<i_p} \exp \left[ \frac{1}{4N^p} \left( ip\sum_{a=1}^n \lambda_{i_1}^a m_{i_2}^a \cdots m_{i_p}^a + p(p-1) \sum_{a=1}^n \bar{\psi}_{i_1}^a \psi_{i_2}^a m_{i_3}^a \cdots m_{i_p}^a + i\omega \sum_{a=1}^n m_{i_1}^a \cdots m_{i_p}^a \right)^2 \right]\\ \end{eqnarray*}

평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: $$Z = \int D\sigma \exp\left[ -\beta H(\sigma) \right] \approx \sum_\alpha \int_{\sigma\in \alpha} D\sigma \exp\left[-\beta H(\sigma) \right] = \sum_\alpha Z_\alpha.$$ 이때 $Z_\alpha = \exp\left(-\beta N f_\alpha \right)$는 안정 혹은 준안정한 상태 $\alpha$로 제한된 분배 함수이다. 또 상태 $\alpha$의 자유 에너지 밀도 $f_\alpha$는 바닥 상태 에너지 밀도 $\varepsilon_\alpha$와 온도 $T$의 함수로서 $f_\alpha = f(\varepsilon_\alpha, T)$이다. 그러므로 \begin{eqnarray*} Z &=& \sum_\alpha \int d\varepsilon \delta(\varepsilon - \varepsilon_\alpha) \exp\left[-\beta N f(\varepsilon,T) \right]\\ &=& \int d\varepsilon \mathcal{N}(\varepsilon) \exp\left[-\beta N f(\varepsilon,T) \right]\\ &=& \int d\varepsilon \exp\left\{\beta N \left[f(\varepsilon,T) - T\Sigma(\varepsilon) \right] \right\}\\ &=& \int d\varepsilon \exp\left[\beta N \Phi(\varepsilon,T) \right] \end{eqnarray*} 로서 $\Phi(\varepsilon,T) \equiv f(\varepsilon,T)-T\Sigma(\varepsilon)$이다.

$N\to\infty$에서 안장점 근사를 사용하면 $\Phi$를 최소화하는 $\varepsilon$의 값이 가장 주된 기여를 할 것이므로 평형 자유 에너지 밀도는 다음처럼 주어진다: $$f_\text{eq}(T) = \frac{1}{\beta N} \ln Z = \lim_\varepsilon \left[ f(\varepsilon,T) - T\Sigma(\varepsilon) \right] = \Phi \left[ \varepsilon_\text{eq}(T),T \right].$$ 이때 최소화 조건이 다음과 같다: $$\left. \frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon} \right|_{\varepsilon_\text{eq}(T)} = 0.$$

따라서 $S$를 엔트로피 밀도라고 하면 $f = \varepsilon - TS$이므로 $$\Phi = f - T\Sigma = \varepsilon - T(S+\Sigma)$$ 이다. 일반화된 자유 에너지인 $\Phi$의 관점에서 볼 때, 지수함수적으로 많은 준안정 상태들의 존재로 인해 복잡도가 엔트로피에 추가적인 기여를 하는 것처럼 나타난다.

• 포커-플랑크 방정식
• 인자 그래프
• TAP 방정식

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• James P. Sethna, Statistical Mechanics: Entropy, Order Parameters, and Complexity, 2nd ed. (Oxford University Press, Oxford, 2021).
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