개요

고체 내 격자의 움직임을 이해하기 위해 원자들을 용수철로 연결된 질량 $m$인 질점으로 간주해서 풀고자 한다. 모든 용수철 상수는 균일하게 $K$로 놓는다.

격자 상수, 즉 평형 상태에서 원자들 사이의 간격을 $a$라고 보고 $j$번째 원자의 원래 위치를 $R_j = ja$라고 놓자. 원자의 전체 수는 $N$개여서 $j=1,\ldots,N$이고 전체 길이는 $L=Na$이다. 평형 위치로부터의 변위가 $x_j$여서 원자의 실제 위치가 $r_j = R_j + x_j$라고 하자. 시간 $t$에 대해 변하는 부분은 $x_j$뿐임에 유의한다. 즉 시간 미분을 점으로 나타내면, $\dot{x}_j = \dot{r}_j$이다.

푸리에 변환을 사용하면 아래처럼 표현할 수 있다: $$\begin{array}{ll} \hat{x}_k = N^{-1/2} \sum_j x_j e^{-ikR_j}, & \dot{\hat{x}}_k = N^{-1/2} \sum_j \dot{x}_j e^{-ikR_j}\\ x_j = N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikR_j}, & \dot{x}_j = N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j}. \end{array}$$ 이 때 $k = 2\pi/\lambda$이고, 이에 해당하는 파장은 어떤 자연수 $n$에 대해 $\lambda = L/n$이다. 위 식들에서 $k$에 대한 합 $\sum_k$는 $n$에 대한 합이라고 이해해도 된다.

이후의 계산에서 다음의 두 가지 성질에 유의할 것.

$x_j$가 실수이므로 푸리에 계수에 복소켤레를 취했을 때 $\hat{x}_k^\ast = \hat{x}_{-k}$이다.
$\sum_j \exp[i(k'-k)R_j] = N \delta_{kk'}$, 이 때 $\delta_{kk'}$은 크로네커 델타이다.

더 자세한 설명은 푸리에 변환을 참조할 것.

\begin{eqnarray} \frac{1}{2} m \sum_j \dot{x}_j^2 &=& \frac{1}{2}m \sum_j \dot{x}_j \dot{x}_j\\ &=& \frac{1}{2} m \sum_j \left( N^{-1/2} \sum_k \dot{\hat{x}}_k e^{ikR_j} \right)\left( N^{-1/2} \sum_{k'} \dot{\hat{x}}_{k'} e^{ik'R_j} \right)\\ &=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk'} \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{k'} \sum_j \exp[i(k+k')R_j]\\ &=& \frac{1}{2} m N^{-1} \sum_{kk'} \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{k'} N \delta_{k+k',0}\\ &=& \frac{1}{2} m \sum_k \dot{\hat{x}}_k \dot{\hat{x}}_{-k}\\ &=& \frac{1}{2} m \sum_k \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2. \end{eqnarray}

식 (2)를 적을 때에 허깨비 변수끼리 같을 이유가 없으므로 $k$, $k'$으로 달리 적었음에 유의한다.

식 (3)으로부터 (4)로 넘어올 때에 위에서 언급한 크로네커 델타의 푸리에 표현식이 쓰였다.

\begin{eqnarray} \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right)^2 &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left( x_j - x_{j+1} \right) \left( x_j - x_{j+1} \right)\\ &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k \left( e^{ikR_j} - e^{ikR_{j+1}} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} \left( e^{ik'R_j} - e^{ik'R_{j+1}} \right) \right]\\ &=& \frac{1}{2}K \sum_j \left[ N^{-1/2} \sum_k \hat{x}_k e^{ikja} \left( 1 - e^{ika} \right) \right] \left[ N^{-1/2} \sum_{k'} \hat{x}_{k'} e^{ik' ja} \left( 1 - e^{ik' a} \right) \right]\\ &=& \frac{1}{2}K N^{-1} \sum_{kk'} \hat{x}_k \hat{x}_{k'} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{ik' a} \right) \sum_j \exp[i(k+k')ja]\\ &=& \frac{1}{2}K \sum_k \hat{x}_k \hat{x}_{-k} \left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \sum_k \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2. \end{eqnarray} 이 때에 $\hat{K}(k) = K\left( 1-e^{ika} \right) \left( 1-e^{-ika} \right) = 4K \sin^2 \frac{ka}{2}$로서, 소리 양자(phonon)의 분산 관계 중 음향 갈래(acoustic branch)에 해당하는 부분이다.

따라서 전체 에너지는 $$E = \sum_k \left[ \frac{1}{2} m \left| \dot{\hat{x}}_k \right|^2 + \frac{1}{2} \hat{K}(k) \left| \hat{x}_k \right|^2 \right]$$ 로서 독립적인 조화진동자들의 합으로 분리된다.

현의 진동