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--- 물리:경로적분_계산 [2021/03/29 18:27] – yong
+++ 물리:경로적분_계산 [2021/04/06 21:27] – [경로적분] yong
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 파인만의 통계물리 3장 내용을 보충하는 문서이다.
+====== 경로적분 ======
+[[물리:양자기체의 밀도행렬]] 문서에서 우리는 밀도행렬이 아래와 같은 방정식을 만족한다고 언급하였다.
+\begin{align}
+    \hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = -H \rho (u)
+\end{align}
+이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은
+$\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서
+어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 u의 차원은 **시간**인데, 이를 간단하게 살펴보면,
+\begin{align}
+    u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} [\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s]
+\end{align}
+시간차원인 것을 확인할 수 있다. 또한, 여기서 시간 u 를 아주 작은 $\epsilon$ 으로 n개 만큼 쪼개면,
+\begin{align}
+    \rho(u) = e^{-Hu / \hbar} &= e^{-H\epsilon / \hbar}e^{-H\epsilon / \hbar} \cdots e^{-H\epsilon / \hbar} \\
+    &= \rho_\epsilon \rho_\epsilon \cdots \rho_\epsilon
+\end{align}
+으로 나타낼 수 있고 (물론, $u = n\epsilon$), $\rho(u)$ 가 위치 $x^{\prime}$ 에서 $x$ 의 지점을
+시간 $u$ 만큼의 궤적을 말하려면, 양자역학에서의 좌표계 표현 (coordinate representation) 을 이용하여,
+\begin{align}
+    \rho(x, x^{\prime}; u) =
+    \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle
+    &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle
+    \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle
+    \cdots
+    \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle
+    dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\
+    &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon)
+    \cdots
+    \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}
+\end{align}
+이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것,
+즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면,
+지금의 식은
+\begin{align}
+    \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u)
+\end{align}
+으로 바꿀 수 있다. 여기서 전체 경로 적분에 대한 시간을 U, 각 부분 $\epsilon$ 으로 쪼갠 부분의 시간을 u로 썼다.
+여기서 $\Phi[x(u)] \,, \mathcal{D}x(u)$ 는
+\begin{align}
+    &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}
+    \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) \\
+    &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1}
+\end{align}
+여기서 파인만 책에서는 슈뢰딩거 방정식을 따라가지 않다 보니 일반적인 형태의 시간 변화 연산자 $e^{-iHt/\hbar}$ 의 형태를 사용하고 있지 않다.
+이점에 대해서는 책에서도 언급하고 있는데, 사실 처음에 쓴 방정식에서 시간 $u \rightarrow iu$ 이면 익숙한 슈뢰딩거 방정식,
+\begin{align}
+    -i\hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = H \rho (u)
+\end{align}
+이다. 책에서는 다음과 같이 언급하고 있다.
+> 방정식의 "u" 가 "iu"로 대치되면 우리는 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다. 이러한 통계역학적 방법과
+> 같이, 양자역학도 경로적분의 관점으로 공식화 될 수 있다. 수학자들에게는, 통계역학이 더 다루기 쉬운데
+> 이는 경로 적분의 지수함수에서 지수부분이 실수의 양인게 다루기 쉽다.
 ====== 자유입자의 경로적분 ======
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      F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2}
 \end{align}
+등식을 만족하기 위해서 양 변에 $\left[ 2\pi\hbar\left( u_1 + u_2 \right) / m \right]^{1/2}$ 를 곱해주면
+\begin{align}
+     F(u_1 + u_2)\left[\frac{2\pi\hbar \left( u_1 + u_2 \right)}{m}\right]^{1/2}
+     = F(u_1)\left[\frac{2\pi\hbar u_1}{m}\right]^{1/2}F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_2}{m}\right]^{1/2}
+\end{align}
+이며 등식을 만족시키기 위해서는 처음에 소개한 $F(U)$ 같은 식이 된다.