$f(x)$의 푸리에 변환 $$f(x) = \int_{-\infty}^\infty g(k) e^{ikx} dx$$ $$g(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dk$$ 로부터 두 번째 식을 첫 번째 식에 대입하면 \begin{eqnarray} f(x) &=& \int_{-\infty}^\infty \left[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-iky} dk \right] e^{ikx} dx\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \left( \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ik(x-y)} dk \right) dy\\ &=& \int_{-\infty}^\infty f(y) \delta(x-y) dy \end{eqnarray} 임을 알 수 있다. 식 (1)에서는 허깨비 변수 $y$를 사용했음에 유의한다. 즉 $$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk.$$

위 식을 바로 적분해서 디락 델타 함수임을 볼 수도 있는데 이 때에는 약간의 트릭이 필요하다.

작은 양수 $\epsilon$을 집어넣어서 적분의 진동을 감쇠시켜보자. 그 후에 $\epsilon\rightarrow 0$의 극한을 취할 것이다. 그러면

\begin{eqnarray} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx} dk &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \left[ \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty e^{ikx-\epsilon x} dk + \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^0 e^{ikx+\epsilon x} dk \right]\\ &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon+ix} + \frac{1}{\epsilon-ix} \right]\\ &=& \lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} \end{eqnarray} 그런데 모든 $x\neq 0$에 대해서 $\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)}=0$이고, 임의의 $\epsilon>0$에 대해 $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\epsilon}{\pi(\epsilon^2 + x^2)} dx = 1$$ 이어서 디락 델타 함수의 성질을 가진다.

$$\delta(t-t') = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i\omega(t-t')} d\omega$$ 인데, $\delta(t)$는 짝함수이므로 이는 또한 $$\delta(t'-t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega(t-t')} d\omega$$ 와도 같다. 따라서 우변의 두 표현식을 반반씩 섞어도 $\delta(t-t')$이 된다: \begin{eqnarray*} \delta(t-t') &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\omega(t-t')}+e^{-i\omega(t-t')}}{2} d\omega\\ &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \cos \omega (t-t') d\omega\\ &=& \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos \omega (t-t') d\omega. \end{eqnarray*} 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분을 묘사할 때 사용되는 식이다.

2종 요동-흩어지기 정리의 유도와 칼데이라-레겟 모형의 흩어지기 부분 분석에서처럼 $\delta(t)$를 $0$부터 $\infty$까지 적분해야 할 경우 $\delta(t)$가 짝함수이므로 $$\int_0^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \delta(t) dt = \frac{1}{2}$$ 이라고 놓는다.

매끄러운 함수 $g(x)=0$의 해가 $x_1, \ldots, x_K$라면 다음 등식이 성립한다: $$\delta\left[ g(x) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(x-x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$ 적분 형식으로 적으면 $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta\left[ g(x) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(x_i)}{\left| g'(x_i) \right|}.$$

이를 $N$차원에서 정의된 스칼라 함수로 일반화하여 적으면 $g(\mathbf{x})=0$을 만족하는 해 $\mathbf{x}_1, \ldots, \mathbf{x}_K$에 대해 $$\int_{-\infty}^{\infty} f(\mathbf{x}) \delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] dx = \sum_{i=1}^K \frac{f(\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}$$ 혹은 $$\delta\left[ g(\mathbf{x}) \right] = \sum_{i=1}^K \frac{\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i)}{\left| \nabla g(\mathbf{x}_i) \right|}.$$

계수(rank)가 $n$인 $n\times n$ 실수 행렬 $A$에 대해 다음 식이 성립한다: $$\delta(A\mathbf{x}) = \frac{1}{\left| \det A \right|} \delta (\mathbf{x}).$$

크로네커 델타